四角形ABCDにおいて、$\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}$ が成り立つ。ABを2:1に内分する点をP、ACを1:1に内分する点をQとする。PQの延長線とCDの交点をRとするとき、CR:RDを求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}$ が成り立つ。ABを2:1に内分する点をP、ACを1:1に内分する点をQとする。PQの延長線とCDの交点をRとするとき、CR:RDを求めよ。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$ とおく。

$\overrightarrow{AC} = 3\vec{b} + 2\vec{d}$ である。

点PはABを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\vec{b}$

点QはACを1:1に内分するので、

$\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(3\vec{b} + 2\vec{d}) = \frac{3}{2}\vec{b} + \vec{d}$

点RはPQの延長線上にあるので、ある実数 $k$ を用いて

$\overrightarrow{AR} = \overrightarrow{AP} + k\overrightarrow{PQ}$ と表せる。

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} = (\frac{3}{2}\vec{b} + \vec{d}) - \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{5}{6}\vec{b} + \vec{d}$

$\overrightarrow{AR} = \frac{2}{3}\vec{b} + k(\frac{5}{6}\vec{b} + \vec{d}) = (\frac{2}{3} + \frac{5}{6}k)\vec{b} + k\vec{d}$

一方、点RはCD上にあるので、ある実数 $l$ を用いて

$\overrightarrow{AR} = \overrightarrow{AD} + l\overrightarrow{DC}$ と表せる。

$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = (3\vec{b} + 2\vec{d}) - \vec{d} = 3\vec{b} + \vec{d}$

$\overrightarrow{AR} = \vec{d} + l(3\vec{b} + \vec{d}) = 3l\vec{b} + (1+l)\vec{d}$

$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、

$\begin{cases} \frac{2}{3} + \frac{5}{6}k = 3l \\ k = 1 + l \end{cases}$

これを解く。

$\frac{2}{3} + \frac{5}{6}(1+l) = 3l$

$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} + \frac{5}{6}l = 3l$

$\frac{4+5}{6} = 3l - \frac{5}{6}l$

$\frac{9}{6} = \frac{18-5}{6}l$

$\frac{3}{2} = \frac{13}{6}l$

$l = \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{13} = \frac{9}{13}$

$CR:RD = l:(1-l) = \frac{9}{13}:(1 - \frac{9}{13}) = \frac{9}{13}:\frac{4}{13} = 9:4$

3. 最終的な答え

CR:RD = 9:4