与えられた三角形の2辺の長さ$a=4$, $b=5$と、その間の角$C=135^{\circ}$が与えられています。この三角形の残りの辺の長さ$c$を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた三角形の2辺の長さ$a=4$, $b=5$と、その間の角$C=135^{\circ}$が与えられています。この三角形の残りの辺の長さ$c$を求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を利用して辺$c$の長さを求めます。余弦定理は、三角形の任意の辺の長さの二乗が、他の二辺の長さの二乗の和から、それらの二辺の積の2倍とその間の角の余弦を引いたものに等しいというものです。

この問題では、辺$c$の長さを求めるために、以下の余弦定理の式を使用します。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

与えられた値を代入すると、

$c^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos{135^{\circ}}$

$\cos{135^{\circ}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$c^2 = 16 + 25 - 40 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$c^2 = 41 + 20\sqrt{2}$

$c = \sqrt{41 + 20\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

$c = \sqrt{41 + 20\sqrt{2}}$