一辺の長さが2の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとする。 (1) $\cos{\angle AMD}$の値を求めよ。 (2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求めよ。 (3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求めよ。また、点Bから平面AENに垂線を引き、平面AENとの交点をHとする。線分BHの長さを求めよ。

はい、承知しました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとする。

(1) $\cos{\angle AMD}$の値を求めよ。

(2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求めよ。

(3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求めよ。また、点Bから平面AENに垂線を引き、平面AENとの交点をHとする。線分BHの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ABM$において、三平方の定理より、

$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$

同様に、$DM = \sqrt{3}$

$\triangle AMD$において、余弦定理より、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2AM \cdot DM \cos{\angle AMD}$

$2^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cos{\angle AMD}$

$4 = 3 + 3 - 6 \cos{\angle AMD}$

$6 \cos{\angle AMD} = 2$

$\cos{\angle AMD} = \frac{1}{3}$

(2)

直線BCに関してDとEは対称なので、BCはDEを垂直に2等分する。

$BD = BE = 2$, $CD = CE = 2$となる。

$\triangle BCE$と$\triangle BCD$は合同な正三角形。

$\triangle ABE$において、

$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2AB \cdot BE \cos{\angle ABE}$

$\angle ABE$を求める。$\angle ABC = 60^\circ$, $\angle CBE = 60^\circ$より、

$\angle ABE = 120^\circ$

$AE^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cos{120^\circ}$

$AE^2 = 4 + 4 - 8 (-\frac{1}{2})$

$AE^2 = 8 + 4 = 12$

$AE = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

(3)

NはBDの中点なので、$AN = \sqrt{3}$

$\triangle ABD$で中線定理より

$AB^2 + AD^2 = 2(AN^2 + BN^2)$

$4+4 = 2(AN^2 + 1)$

$4 = AN^2 + 1$

$AN^2 = 3$

$AN = \sqrt{3}$

$EN = \sqrt{3}$（対称性から）

$\triangle AEN$について考える。

$AE = 2\sqrt{3}, AN = EN = \sqrt{3}$

頂点AからENに垂線を下ろし、交点をIとする。

$\triangle AIN$において、

$AN^2 = AI^2 + IN^2$

$AI^2 = (\sqrt{3})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$

$AI = \frac{3}{2}$

$\triangle AEN = \frac{1}{2} EN \cdot AI = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

正四面体ABCDの体積は $\frac{2^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Aから面BCDに下ろした垂線の足をOとする。Oは$\triangle BCD$の重心であるから、$\frac{2\sqrt{3}}{3}$である。AO = $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

$\triangle AEN$の面積をSとする。

$\frac{1}{3} S \cdot BH = \frac{1}{6} \frac{2\sqrt{2}}{3} *2 = \frac{\sqrt{2}}{9}$

BH = $\frac{\sqrt{2}}{9} * \frac{3}{3\sqrt{3}/4} = \frac{4\sqrt{2}}{9\sqrt{3}} * \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{27}$

$\frac{1}{6}V$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\angle AMD} = \frac{1}{3}$

(2) $AE = 2\sqrt{3}$

(3) $\triangle AEN$の面積は$\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$BH = \frac{4\sqrt{6}}{27}$