四角形ABCDにおいて、$\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}$ が成立している。辺ABを2:1に内分する点をP、辺ACを1:1に内分する点をQとする。直線PQと直線CDの交点をRとするとき、CR:RDを求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}$ が成立している。辺ABを2:1に内分する点をP、辺ACを1:1に内分する点をQとする。直線PQと直線CDの交点をRとするとき、CR:RDを求めよ。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ で表し、$\overrightarrow{AQ}$ を $\overrightarrow{AC}$ で表し、$\overrightarrow{AC}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AD}$ で表す。次に、$\overrightarrow{AR}$ を $\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{AQ}$ を用いて表し、さらに$\overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表す。そして、点Rが直線CD上にある条件から、$\overrightarrow{AR}$ を $\overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{AC}$ の線形結合で表したときの係数の和が1になることを利用して、CR:RDを求める。

まず、点Pは辺ABを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

点Qは辺ACを1:1に内分するので、

$\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}$ を代入すると、

$\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}(3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD}) = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

点Rは直線PQ上にあるので、実数 $k$ を用いて

$\overrightarrow{AR} = (1-k)\overrightarrow{AP} + k\overrightarrow{AQ}$

と表せる。$\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{AQ}$ を代入すると、

$\overrightarrow{AR} = (1-k)\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + k(\frac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$

$\overrightarrow{AR} = (\frac{2}{3} - \frac{2}{3}k + \frac{3}{2}k)\overrightarrow{AB} + k\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AR} = (\frac{2}{3} + \frac{5}{6}k)\overrightarrow{AB} + k\overrightarrow{AD}$

また、$\overrightarrow{AB} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AD})$を代入すると、

$\overrightarrow{AR} = (\frac{2}{3} + \frac{5}{6}k)\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AD}) + k\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AR} = \frac{1}{3}(\frac{2}{3} + \frac{5}{6}k)\overrightarrow{AC} - \frac{2}{3}(\frac{2}{3} + \frac{5}{6}k)\overrightarrow{AD} + k\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AR} = (\frac{2}{9} + \frac{5}{18}k)\overrightarrow{AC} + (-\frac{4}{9} - \frac{5}{9}k + k)\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AR} = (\frac{2}{9} + \frac{5}{18}k)\overrightarrow{AC} + (-\frac{4}{9} + \frac{4}{9}k)\overrightarrow{AD}$

点Rは直線CD上にあるので、$\overrightarrow{AR} = s\overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{AD}$ と表したとき、$s + t = 1$ が成り立つ。

したがって、

$\frac{2}{9} + \frac{5}{18}k - \frac{4}{9} + \frac{4}{9}k = 1$

$-\frac{2}{9} + \frac{13}{18}k = 1$

$\frac{13}{18}k = \frac{11}{9}$

$k = \frac{11}{9} \cdot \frac{18}{13} = \frac{22}{13}$

$\overrightarrow{AR} = (\frac{2}{9} + \frac{5}{18}k)\overrightarrow{AC} + (-\frac{4}{9} + \frac{4}{9}k)\overrightarrow{AD}$ に $k = \frac{22}{13}$ を代入すると、

$\overrightarrow{AR} = (\frac{2}{9} + \frac{5}{18} \cdot \frac{22}{13})\overrightarrow{AC} + (-\frac{4}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{22}{13})\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AR} = (\frac{2}{9} + \frac{55}{117})\overrightarrow{AC} + (-\frac{4}{9} + \frac{88}{117})\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AR} = (\frac{26 + 55}{117})\overrightarrow{AC} + (\frac{-52 + 88}{117})\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AR} = \frac{81}{117}\overrightarrow{AC} + \frac{36}{117}\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AR} = \frac{9}{13}\overrightarrow{AC} + \frac{4}{13}\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{DR} = \overrightarrow{AR} - \overrightarrow{AD} = \frac{9}{13}\overrightarrow{AC} + \frac{4}{13}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} = \frac{9}{13}\overrightarrow{AC} - \frac{9}{13}\overrightarrow{AD} = \frac{9}{13}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}) = \frac{9}{13}\overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{DR} = -\frac{9}{13}\overrightarrow{CD}$

$CR:RD = |CD - DR| : |DR| = |CD + \frac{9}{13}CD|:|\frac{9}{13}CD| = |\frac{22}{13}CD| : |\frac{9}{13}CD| = 22:9$

3. 最終的な答え

CR:RD = 22:9