正十二角形の3個の頂点を結んで三角形を作る問題。 (1) 作れる三角形の総数を求める。 (2) 正十二角形と1辺だけを共有する三角形の数を求める。 (3) 正十二角形と辺を共有しない三角形の数を求める。

## 問題9

1. 問題の内容

正十二角形の3個の頂点を結んで三角形を作る問題。

(1) 作れる三角形の総数を求める。

(2) 正十二角形と1辺だけを共有する三角形の数を求める。

(3) 正十二角形と辺を共有しない三角形の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正十二角形の頂点から3個を選ぶ組み合わせを計算する。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を使用する。

$n = 12, r = 3$ を代入して計算する。

(2) 1辺だけを共有する三角形の数を求める。まず、1辺を選ぶ。これは12通り。次に、その選んだ辺の両端の頂点に隣接する頂点以外の頂点を選ぶ。これは9個から1個を選ぶ組み合わせになるが、両隣の頂点を引くので、9-2=7個から1つを選ぶことになる。つまり、7通り。したがって、1辺だけを共有する三角形の数は $12 \times 7 = 84$となる。ただし、各三角形が２回ずつカウントされているため、2で割る必要はない。

(3) 正十二角形と辺を共有しない三角形の数を求める。

全三角形の数から、辺を共有する三角形の数を引く。

辺を共有する三角形の数は、2辺を共有する三角形と1辺を共有する三角形の合計である。

2辺を共有する三角形は12個である。

1辺だけを共有する三角形は84個である。

したがって、辺を共有する三角形の数は $12 + 84 = 96$ である。

全三角形の数から辺を共有する三角形の数を引く。

3. 最終的な答え

(1) $_12C_3 = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

したがって、三角形は220個できる。

(2) 正十二角形と1辺だけを共有する三角形の数は84個。

(3) 辺を共有しない三角形の数は $220 - 12 - 84 = 124$個。

## 問題10

1. 問題の内容

道のある地域で、点Pから点Qまで遠回りをしないで行く最短の道順の数を求める。

(1) すべての道順を求める。

(2) Rを通る道順を求める。

(3) Rを通らない道順を求める。

(4) ×印の箇所を通らない道順を求める。

2. 解き方の手順

(1) PからQまで行くには、右に5回、上に3回移動する必要がある。したがって、合計8回の移動のうち、右に5回移動する場所を選ぶ組み合わせを計算する。これは $_8C_5$ または $_8C_3$ で計算できる。

(2) Rを通る道順は、PからRまでの道順の数と、RからQまでの道順の数を掛け合わせたもの。PからRまでは右に2回、上に1回移動する必要があるので、$_3C_2$ または $_3C_1$ で計算できる。RからQまでは右に3回、上に2回移動する必要があるので、$_5C_3$ または $_5C_2$ で計算できる。

(3) Rを通らない道順は、すべての道順からRを通る道順の数を引いたもの。

(4) ×印の箇所を通らない道順を求める。すべての道順から、×印を通る道順を引けばよい。Pから×印の箇所へ行く道順は、右に3回、上に1回。$_4C_3$ または $_4C_1$ で計算できる。×印の箇所からQへ行く道順は、右に2回、上に2回。$_4C_2$ で計算できる。

3. 最終的な答え

(1) $_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

したがって、すべての道順は56通り。

(2) PからRまでの道順は $_3C_2 = 3$ 通り。

RからQまでの道順は $_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

したがって、Rを通る道順は $3 \times 10 = 30$ 通り。

(3) Rを通らない道順は $56 - 30 = 26$ 通り。

(4) Pから×印の箇所へ行く道順は $_4C_3 = 4$ 通り。

×印の箇所からQへ行く道順は $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

したがって、×印の箇所を通る道順は $4 \times 6 = 24$ 通り。

×印の箇所を通らない道順は $56 - 24 = 32$ 通り。