座標平面上に原点Oと2点A(1, 0), B(0, 1)がある。ベクトル $\vec{OP}$ が $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ と表され、実数 $s, t$ が $s \geq 0$, $t \geq 0$, $s+t \leq 2$ を満たしながら変化するとき、点Pの存在する範囲を図示する。

1. 問題の内容

座標平面上に原点Oと2点A(1, 0), B(0, 1)がある。ベクトル $\vec{OP}$ が $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ と表され、実数 $s, t$ が $s \geq 0$, $t \geq 0$, $s+t \leq 2$ を満たしながら変化するとき、点Pの存在する範囲を図示する。

2. 解き方の手順

まず、$s+t \leq 2$ という条件を、$s/2 + t/2 \leq 1$ と変形する。

$s' = s/2$、$t' = t/2$ とおくと、$s' \geq 0$, $t' \geq 0$, $s' + t' \leq 1$ となる。

このとき、$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = 2s'\vec{OA} + 2t'\vec{OB} = s'(2\vec{OA}) + t'(2\vec{OB})$ となる。

ここで、点$A'=2A(2,0)$, $B'=2B(0,2)$とおくと$\vec{OA'} = 2\vec{OA}, \vec{OB'} = 2\vec{OB}$なので、$\vec{OP} = s'\vec{OA'} + t'\vec{OB'}$ となる。

$s' \geq 0$, $t' \geq 0$, $s'+t' \leq 1$ より、点Pは点O, $A'$, $B'$を頂点とする三角形の内部および周上に存在する。

したがって、点Pの存在する範囲は、3点O(0,0), A'(2,0), B'(0,2)を頂点とする三角形の内部および周上である。

3. 最終的な答え

点Pの存在する範囲は、3点O(0,0), A'(2,0), B'(0,2)を頂点とする三角形の内部および周上である。（図示は省略）