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四面体ABCDにおいて、辺AB, BC, CD, DAの中点をそれぞれP, Q, R, Sとする。このとき、四角形PQRSが平行四辺形であることを証明する問題です。

幾何学ベクトル四面体平行四辺形中点
2025/6/26

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、辺AB, BC, CD, DAの中点をそれぞれP, Q, R, Sとする。このとき、四角形PQRSが平行四辺形であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて証明します。
まず、AP⃗=12AB⃗\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} より、OP⃗=OA⃗+AP⃗=OA⃗+12AB⃗\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP} = \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{AB}です。
同様に、OQ⃗=OB⃗+12BC⃗\vec{OQ} = \vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{BC}, OR⃗=OC⃗+12CD⃗\vec{OR} = \vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{CD}, OS⃗=OD⃗+12DA⃗\vec{OS} = \vec{OD} + \frac{1}{2}\vec{DA}となります。
次に、PQ⃗=OQ⃗−OP⃗=(OB⃗+12BC⃗)−(OA⃗+12AB⃗)=OB⃗−OA⃗+12(OC⃗−OB⃗)−12(OB⃗−OA⃗)=AB⃗+12BC⃗−12AB⃗=12AB⃗+12BC⃗=12(AB⃗+BC⃗)=12AC⃗\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (\vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{BC}) - (\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{AB}) = \vec{OB} - \vec{OA} + \frac{1}{2}(\vec{OC} - \vec{OB}) - \frac{1}{2}(\vec{OB} - \vec{OA}) = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC}) = \frac{1}{2}\vec{AC}
SR⃗=OR⃗−OS⃗=(OC⃗+12CD⃗)−(OD⃗+12DA⃗)=OC⃗−OD⃗+12(OD⃗−OC⃗)−12(OA⃗−OD⃗)=DC⃗+12CD⃗−12DA⃗=DC⃗+12CD⃗−12DA⃗=−CD⃗+12CD⃗−12DA⃗=−12CD⃗−12DA⃗=12(DC⃗+CD⃗)=12DC⃗+12CD⃗\vec{SR} = \vec{OR} - \vec{OS} = (\vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{CD}) - (\vec{OD} + \frac{1}{2}\vec{DA}) = \vec{OC} - \vec{OD} + \frac{1}{2}(\vec{OD} - \vec{OC}) - \frac{1}{2}(\vec{OA} - \vec{OD}) = \vec{DC} + \frac{1}{2}\vec{CD} - \frac{1}{2}\vec{DA} = \vec{DC} + \frac{1}{2}\vec{CD} - \frac{1}{2}\vec{DA}= -\vec{CD} + \frac{1}{2}\vec{CD} - \frac{1}{2}\vec{DA} = -\frac{1}{2}\vec{CD} - \frac{1}{2}\vec{DA} = \frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{CD})= \frac{1}{2}\vec{DC} + \frac{1}{2}\vec{CD}
SR⃗=OR⃗−OS⃗=(OC⃗+12CD⃗)−(OD⃗+12DA⃗)=OC⃗−OD⃗+12CD⃗−12DA⃗\vec{SR} = \vec{OR} - \vec{OS} = (\vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{CD}) - (\vec{OD} + \frac{1}{2}\vec{DA}) = \vec{OC} - \vec{OD} + \frac{1}{2}\vec{CD} - \frac{1}{2}\vec{DA}
=DC⃗+12CD⃗−12DA⃗= \vec{DC} + \frac{1}{2}\vec{CD} - \frac{1}{2}\vec{DA}
ここで、AC⃗=AD⃗+DC⃗=AB⃗+BC⃗\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AB} + \vec{BC}、従って PS⃗=DS⃗−DP⃗=AS⃗−AP⃗=12DA⃗−12AB⃗=12(DA−AB)\vec{PS}=\vec{DS}-\vec{DP}= \vec{AS} - \vec{AP}= \frac{1}{2}\vec{DA}- \frac{1}{2}\vec{AB}=\frac{1}{2}(DA-AB)
QR⃗=12(DC⃗+CB⃗)=12(DC−BC)\vec{QR} = \frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{CB})= \frac{1}{2}(DC-BC)
PS⃗=OS⃗−OP⃗=OD⃗−OA⃗+12DA⃗−12AB⃗\vec{PS} = \vec{OS} - \vec{OP} = \vec{OD} - \vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{DA} - \frac{1}{2}\vec{AB}
RQ⃗=OQ⃗−OR⃗=OB⃗−OC⃗+12BC⃗−12CD⃗\vec{RQ} = \vec{OQ} - \vec{OR} = \vec{OB} - \vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{BC} - \frac{1}{2}\vec{CD}
中点連結定理より，PQ⃗=12AC⃗\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AC}、SR⃗=12AC⃗\vec{SR} = \frac{1}{2}\vec{AC}。したがって、PQ⃗=SR⃗\vec{PQ} = \vec{SR}なので、PQとSRは平行で長さが等しい。
同様に、PS⃗=12BD⃗\vec{PS} = \frac{1}{2}\vec{BD}、QR⃗=12BD⃗\vec{QR} = \frac{1}{2}\vec{BD}。したがって、PS⃗=QR⃗\vec{PS} = \vec{QR}なので、PSとQRは平行で長さが等しい。
向かい合う２辺が平行で長さが等しいので、四角形PQRSは平行四辺形である。

3. 最終的な答え

四角形PQRSは平行四辺形である。

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