三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺OBを1:2に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとする。ベクトルOA = a, ベクトルOB = b とするとき、ベクトルOPをa, bを用いて表す。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを3:2に内分する点をC、辺OBを1:2に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとする。ベクトルOA = a, ベクトルOB = b とするとき、ベクトルOPをa, bを用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Pは線分AD上にあるので、実数sを用いて、ベクトルOPは次のように表せる。

$ベクトルOP = (1-s)ベクトルOA + sベクトルOD$

ベクトルOA = a, ベクトルOD = (1/3)b なので、

$ベクトルOP = (1-s)a + (s/3)b$ ...(1)

次に、点Pは線分BC上にあるので、実数tを用いて、ベクトルOPは次のように表せる。

$ベクトルOP = (1-t)ベクトルOB + tベクトルOC$

ベクトルOB = b, ベクトルOC = (3/5)a なので、

$ベクトルOP = (3t/5)a + (1-t)b$ ...(2)

(1)と(2)は同じベクトルOPを表しているので、aとbの係数はそれぞれ等しい。

したがって、

$1 - s = 3t/5$ ...(3)

$s/3 = 1 - t$ ...(4)

(4)より、$s = 3 - 3t$。これを(3)に代入する。

$1 - (3 - 3t) = 3t/5$

$-2 + 3t = 3t/5$

$15t - 3t = 10$

$12t = 10$

$t = 5/6$

これを(4)に代入すると、

$s/3 = 1 - 5/6 = 1/6$

$s = 3/6 = 1/2$

t = 5/6を(2)に代入すると、

$ベクトルOP = (3/5)(5/6)a + (1 - 5/6)b$

$ベクトルOP = (1/2)a + (1/6)b$

または、s = 1/2を(1)に代入すると、

$ベクトルOP = (1 - 1/2)a + (1/2)/3 b$

$ベクトルOP = (1/2)a + (1/6)b$

3. 最終的な答え

ベクトルOP = (1/2)a + (1/6)b