4点 A(-2, 3), B(5, 4), C(3, -1) を頂点とする平行四辺形ABCDがある。対角線AC, BDの交点と頂点Dの座標を求める。

1. 問題の内容

4点 A(-2, 3), B(5, 4), C(3, -1) を頂点とする平行四辺形ABCDがある。対角線AC, BDの交点と頂点Dの座標を求める。

2. 解き方の手順

* 平行四辺形の対角線は互いに他を二等分するので、対角線ACの中点が対角線BDの中点と一致する。

* まず、対角線ACの中点Mの座標を求める。中点の公式より、Mの座標は以下のように計算できる。

$M = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)$

* 次に、点Dの座標を(x, y)とおき、BDの中点がMになるという条件から、x, yを求める。

BDの中点M'の座標は以下のように表せる。

$M' = \left(\frac{x_B + x}{2}, \frac{y_B + y}{2}\right)$

* MとM'が一致するので、以下の方程式が成り立つ。

$\frac{x_A + x_C}{2} = \frac{x_B + x}{2}$

$\frac{y_A + y_C}{2} = \frac{y_B + y}{2}$

* この連立方程式を解くことで、点Dの座標(x, y)を求めることができる。

まず、ACの中点Mの座標を計算する。

$M = \left(\frac{-2 + 3}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$

次に、点Dの座標を(x, y)とおき、BDの中点がMになるという条件からx, yを求める。

$\frac{5 + x}{2} = \frac{1}{2}$

$\frac{4 + y}{2} = 1$

それぞれの方程式を解く。

$5 + x = 1$

$x = 1 - 5 = -4$

$4 + y = 2$

$y = 2 - 4 = -2$

したがって、点Dの座標は(-4, -2)である。

対角線AC, BDの交点は、ACの中点であるM(1/2, 1)と一致する。

3. 最終的な答え

対角線AC, BDの交点の座標は $(\frac{1}{2}, 1)$

頂点Dの座標は $(-4, -2)$