(1) 次の円と直線の共有点の座標を求めます。 (ア) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = 2x - 5$ (イ) 円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $x + y = 2\sqrt{2}$ (2) 円 $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 5$ と直線 $y = x + m$ が共有点をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

(1) 次の円と直線の共有点の座標を求めます。

(ア) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = 2x - 5$

(イ) 円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $x + y = 2\sqrt{2}$

(2) 円 $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 5$ と直線 $y = x + m$ が共有点をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)(ア) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = 2x - 5$ の共有点の座標を求めます。

直線の式を円の式に代入します。

$x^2 + (2x - 5)^2 = 25$

$x^2 + 4x^2 - 20x + 25 = 25$

$5x^2 - 20x = 0$

$5x(x - 4) = 0$

$x = 0, 4$

$x = 0$ のとき、$y = 2(0) - 5 = -5$

$x = 4$ のとき、$y = 2(4) - 5 = 3$

よって、共有点の座標は $(0, -5)$ と $(4, 3)$ です。

(1)(イ) 円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $x + y = 2\sqrt{2}$ の共有点の座標を求めます。

$y = 2\sqrt{2} - x$ を円の式に代入します。

$x^2 + (2\sqrt{2} - x)^2 = 4$

$x^2 + 8 - 4\sqrt{2}x + x^2 = 4$

$2x^2 - 4\sqrt{2}x + 4 = 0$

$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$

$(x - \sqrt{2})^2 = 0$

$x = \sqrt{2}$

$y = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$

よって、共有点の座標は $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ です。

(2) 円 $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 5$ と直線 $y = x + m$ が共有点をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

直線の式を円の式に代入します。

$(x+2)^2 + (x + m - 1)^2 = 5$

$x^2 + 4x + 4 + x^2 + 2(m-1)x + (m-1)^2 = 5$

$2x^2 + (4 + 2m - 2)x + 4 + (m-1)^2 - 5 = 0$

$2x^2 + (2m + 2)x + m^2 - 2m - 0 = 0$

$x^2 + (m+1)x + \frac{m^2 - 2m}{2} = 0$

この二次方程式が実数解を持たないとき、共有点を持ちません。

判別式 $D = (m+1)^2 - 4(1)(\frac{m^2 - 2m}{2}) < 0$

$m^2 + 2m + 1 - 2m^2 + 4m < 0$

$-m^2 + 6m + 1 < 0$

$m^2 - 6m - 1 > 0$

$m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}$

したがって、$m < 3 - \sqrt{10}$ または $m > 3 + \sqrt{10}$ です。

3. 最終的な答え

(1)(ア) $(0, -5), (4, 3)$

(1)(イ) $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$

(2) $m < 3 - \sqrt{10}, m > 3 + \sqrt{10}$