直線 $l: 2x + 3y - 5 = 0$ に関して、点 $A(3, 4)$ と対称な点 $B$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: 2x + 3y - 5 = 0$ に関して、点 $A(3, 4)$ と対称な点 $B$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

点$B$の座標を$(x, y)$とする。

(1) 線分$AB$の中点$M$は直線$l$上にある。

$M$の座標は$(\frac{x+3}{2}, \frac{y+4}{2})$である。

これが直線$l$上にあるので、

$2(\frac{x+3}{2}) + 3(\frac{y+4}{2}) - 5 = 0$

$x+3 + \frac{3}{2}y + 6 - 5 = 0$

$x + \frac{3}{2}y + 4 = 0$

$2x + 3y + 8 = 0$ ... (1)

(2) 直線$AB$と直線$l$は垂直に交わる。

直線$AB$の傾きは$\frac{y-4}{x-3}$であり、直線$l$の傾きは$-\frac{2}{3}$である。

したがって、$\frac{y-4}{x-3} \cdot (-\frac{2}{3}) = -1$

$\frac{y-4}{x-3} = \frac{3}{2}$

$2(y-4) = 3(x-3)$

$2y - 8 = 3x - 9$

$3x - 2y - 1 = 0$ ... (2)

(1)と(2)を連立させて解く。

(1) $\times$ 2: $4x + 6y + 16 = 0$

(2) $\times$ 3: $9x - 6y - 3 = 0$

足し合わせると、$13x + 13 = 0$より、$x = -1$

(2)に代入すると、$3(-1) - 2y - 1 = 0$

$-3 - 2y - 1 = 0$

$-2y = 4$

$y = -2$

3. 最終的な答え

点$B$の座標は $(-1, -2)$