(1)と(2)の図において、角度$\alpha$を求める問題です。(1)では、線分ABは円の直径であることが与えられています。

1. 問題の内容

(1)と(2)の図において、角度$\alpha$を求める問題です。(1)では、線分ABは円の直径であることが与えられています。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABは円の直径なので、$\angle ACB = 90^{\circ}$です。三角形の内角の和は$180^{\circ}$なので、$\angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}$。円周角の定理より、$\angle ADC = \angle ABC = 55^{\circ}$。よって、$\alpha = 55^{\circ}$.

(2) $\angle QAB = 51^{\circ}$、$\angle PCA = 25^{\circ}$とする。円周角の定理より、$\angle ABD = \angle ACD = \alpha$。

$\angle BAC = 51^{\circ} + \alpha$、$\angle BCD = 25^{\circ} + \alpha$である。

三角形の内角の和の定理より、$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle QAB - \angle BAC = 180^{\circ} - 51^{\circ} - \angle BAC = 129^{\circ} - \angle BAC = 129^{\circ} - (51^{\circ}+\alpha) = 78^{\circ} - \alpha$。

$\angle ABC + \angle ADC + \angle BCD + \angle BAD = 360^{\circ}$なので、四角形ABCDは円に内接する。

したがって、$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$より、$\alpha + 25^{\circ} + \alpha + 51^{\circ} + \alpha = 180^{\circ}$が成り立つ。

$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle P = 180^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ}$.

$\angle BAC = 51^{\circ} + \alpha$、$\angle BCA = 25^{\circ} + \alpha$なので、三角形ABCにおいて、$\angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^{\circ} - (51^{\circ} + \alpha + 25^{\circ} + \alpha) = 180^{\circ} - (76^{\circ} + 2\alpha) = 104^{\circ} - 2\alpha$

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle BCD + \angle BAD = 180^{\circ}$、$\angle BAD = 180^{\circ} - (25^{\circ} + \alpha) = 155^{\circ} - \alpha$。

三角形PABにおいて、$\angle PBA = 180^{\circ} - \angle PAB - \angle APB = 180^{\circ} - (51^{\circ} + \alpha + \angle PAC) - 25^{\circ} = 104^{\circ} - \alpha - (51^{\circ} + 25^{\circ} + 2\alpha)$.

$\angle PBA = \angle ABC = 51^{\circ} + \alpha$.

$\angle QBA + \angle PBA = 180^{\circ}$

$\angle PBA = 180^{\circ} - 51^{\circ} = 129^{\circ}$

$\angle ADB = \angle ACB = 25 + \alpha$. $\angle BAD = \angle BCD = 25 + \alpha$. よって、$\alpha = 26$

三角形APCについて、$\angle PAC = 180^{\circ} - 25^{\circ} - (25^{\circ} + \alpha + \alpha)$。

$25^{\circ} + \alpha + \angle QAB = \angle QBA$, $2\alpha = 51^{\circ}$. $\alpha = 26^{\circ}$.

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 55^{\circ}$

(2) $\alpha = 26^{\circ}$