三角形ABCがあり、AB=4, BC=5, CA=3である。三角形ABCの内心をIとする。直線AIと辺BCの交点をDとするとき、以下のものを求める。 (1) 線分BDの長さ (2) AI : ID

## 数学の問題

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、AB=4, BC=5, CA=3である。三角形ABCの内心をIとする。直線AIと辺BCの交点をDとするとき、以下のものを求める。

(1) 線分BDの長さ

(2) AI : ID

2. 解き方の手順

**(1) 線分BDの長さ**

角の二等分線の定理を利用する。

三角形ABCにおいて、角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとすると、以下の式が成り立つ。

$BD : DC = AB : AC$

問題文より、$AB=4, AC=3, BC=5$であるから、

$BD : DC = 4 : 3$

$BD = x$とおくと、$DC = 5-x$となる。

したがって、$x : (5-x) = 4 : 3$

$3x = 4(5-x)$

$3x = 20 - 4x$

$7x = 20$

$x = \frac{20}{7}$

よって、$BD = \frac{20}{7}$

**(2) AI : ID**

角の二等分線の定理をもう一度利用する。

三角形ABDにおいて、角Bの二等分線とADの交点をEとすると、

$AI : ID = (AB + AC) : BC$

三角形ABDについて考えると、Iは内心なのでAIは角Aの二等分線である。またBIは角Bの二等分線である。よって、三角形ABIにおいて角Bの二等分線を引くと、辺AIとの交点をEとすると

$AE:EI=AB:BI$

三角形IBCにおいて角Cの二等分線を引くと、辺CIとの交点をFとすると

$CF:FI=BC:BI$

三角形ABCの内角の二等分線について考える。

$AI:ID = (AB+AC):BC$が成り立つ。

$AI:ID = (4+3):5$

$AI:ID = 7:5$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \frac{20}{7}$

(2) $AI : ID = 7 : 5$