与えられた四面体ABCDにおいて、AB=AC=DB=DC=8cm, BC=AD=4cmである。辺BCの中点をMとするとき、以下のものを求める。 (1) 三角形AMDの面積 (2) 四面体ABCDの体積

1. 問題の内容

与えられた四面体ABCDにおいて、AB=AC=DB=DC=8cm, BC=AD=4cmである。辺BCの中点をMとするとき、以下のものを求める。

(1) 三角形AMDの面積

(2) 四面体ABCDの体積

2. 解き方の手順

(1) 三角形AMDの面積を求める。

AMとDMの長さを求める必要がある。

三角形ABCにおいて、AB=AC=8cm、BC=4cm、MはBCの中点なので、BM=MC=2cm。

AMは中線なので、AMの長さを求める。

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot cosB$

しかし、cosBが不明なので、中線の定理を使う。

$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

$8^2 + 8^2 = 2(AM^2 + 2^2)$

$128 = 2(AM^2 + 4)$

$64 = AM^2 + 4$

$AM^2 = 60$

$AM = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$ cm

同様に、DMも中線なので、BD=CD=8cm、BC=4cmなので、

$DM = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$ cm

三角形AMDにおいて、AM=DM=$2\sqrt{15}$ cm、AD=4cm。

これは二等辺三角形なので、AからADに垂線を下ろし、その足をHとする。

AH = DH = 2cm

$MH^2 = AM^2 - AH^2 = (2\sqrt{15})^2 - 2^2 = 60 - 4 = 56$

$MH = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

三角形AMDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AD \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{14} = 4\sqrt{14}$

(2) 四面体ABCDの体積を求める。

四面体ABCDの体積は、四面体を２つの合同な四面体、すなわち、ABCとDBCとに分解できる。

$AB=AC=DB=DC=8$

$BC=AD=4$

ここで点Aから平面BCDへ垂線を下ろす。

点AからBCに垂線を下ろした足はMであり、点DからBCに垂線を下ろした足もMである。

したがって、点Aから平面BCDへ垂線を下ろした足は、DM上にある。

AM = DM = $2\sqrt{15}$ であるので、三角形AMDは二等辺三角形である。

AからDMに垂線を下ろした点をIとすると、IはDMの中点になる。

またAIの長さは

$AI = \sqrt{AM^2 - IM^2} = \sqrt{60 - 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

四面体の体積は、底面BCDを底面とする四面体ABCDの体積として求める。

三角形BCDにおいて、BC=4, BD=CD=8

ここでMはBCの中点であるので、DMはBCの垂直二等分線。

$DM = 2\sqrt{15}$

三角形BCDの面積は、$\frac{1}{2} \times BC \times DM = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{15} = 4\sqrt{15}$

したがって、四面体ABCDの体積は、

$\frac{1}{3} \times (三角形BCDの面積) \times AI = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{15} \times 2\sqrt{14} = \frac{8\sqrt{210}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 三角形AMDの面積: $4\sqrt{14}$ cm$^2$

(2) 四面体ABCDの体積: $\frac{8\sqrt{210}}{3}$ cm$^3$