(1) 円 $x^2 + y^2 - 10x + 12y = 3$ の中心の座標と半径を求めよ。 (2) 方程式 $x^2 + y^2 + 2kx - 4ky + 4k^2 + 6 = 0$ が円を表すような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 - 10x + 12y = 3$ の中心の座標と半径を求めよ。

(2) 方程式 $x^2 + y^2 + 2kx - 4ky + 4k^2 + 6 = 0$ が円を表すような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を平方完成する。

$x^2 - 10x + y^2 + 12y = 3$

$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 + 12y + 36) = 3 + 25 + 36$

$(x - 5)^2 + (y + 6)^2 = 64$

よって、中心の座標は $(5, -6)$ であり、半径は $\sqrt{64} = 8$ である。

(2) 円の方程式を平方完成する。

$x^2 + 2kx + y^2 - 4ky + 4k^2 + 6 = 0$

$(x^2 + 2kx + k^2) + (y^2 - 4ky + 4k^2) = -4k^2 - 6 + k^2 + 4k^2$

$(x + k)^2 + (y - 2k)^2 = k^2 - 6$

この方程式が円を表すためには、$k^2 - 6 > 0$ である必要がある。

$k^2 > 6$

よって、$k < -\sqrt{6}$ または $k > \sqrt{6}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 中心の座標: $(5, -6)$ 、半径: $8$

(2) $k < -\sqrt{6}$ または $k > \sqrt{6}$