一辺の長さが2の正四面体OABCにおいて、辺OA上に点P、辺BC上に点Qをとる。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$とする。$0 \le s \le 1$、$0 \le t \le 1$を満たす実数$s, t$を用いて$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OQ} = (1-t)\overrightarrow{b} + t\overrightarrow{c}$と表す。 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{PQ}^2$、$\overrightarrow{PQ}$が最小となるときの$s, t$の値、その最小値、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{PQ}$、$\angle APQ$、三角形APQの面積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体OABCにおいて、辺OA上に点P、辺BC上に点Qをとる。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$とする。$0 \le s \le 1$、$0 \le t \le 1$を満たす実数$s, t$を用いて$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OQ} = (1-t)\overrightarrow{b} + t\overrightarrow{c}$と表す。

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{PQ}^2$、$\overrightarrow{PQ}$が最小となるときの$s, t$の値、その最小値、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{PQ}$、$\angle APQ$、三角形APQの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求める。

$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{c}| = 2$、$\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 60^\circ$より、

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos 60^\circ = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}| \cos 60^\circ = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{c}| |\overrightarrow{a}| \cos 60^\circ = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

よって、$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 2$

次に、$\overrightarrow{PQ}^2$を求める。

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{b} + t\overrightarrow{c} - s\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{PQ}^2 = ((1-t)\overrightarrow{b} + t\overrightarrow{c} - s\overrightarrow{a}) \cdot ((1-t)\overrightarrow{b} + t\overrightarrow{c} - s\overrightarrow{a})$

$= (1-t)^2 |\overrightarrow{b}|^2 + t^2 |\overrightarrow{c}|^2 + s^2 |\overrightarrow{a}|^2 + 2(1-t)t \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} - 2s(1-t) \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 2st \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$

$= 4(1-t)^2 + 4t^2 + 4s^2 + 4(1-t)t - 4s(1-t) - 4st$

$= 4(1 - 2t + t^2) + 4t^2 + 4s^2 + 4(t - t^2) - 4s + 4st - 4st$

$= 4 - 8t + 4t^2 + 4t^2 + 4s^2 + 4t - 4t^2 - 4s$

$= 4s^2 - 4s + 4t^2 - 4t + 4$

$= 4(s^2 - s) + 4(t^2 - t) + 4$

$= 4(s - \frac{1}{2})^2 - 1 + 4(t - \frac{1}{2})^2 - 1 + 4$

$= 4(s - \frac{1}{2})^2 + 4(t - \frac{1}{2})^2 + 2$

$\overrightarrow{PQ}^2$が最小となるのは、$s = \frac{1}{2}$、$t = \frac{1}{2}$のときで、その最小値は$\overrightarrow{PQ}^2 = 2$

よって、$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{2}$

$s = \frac{1}{2}$、$t = \frac{1}{2}$のとき、

$\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c} - \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{a} \cdot (\frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c} - \frac{1}{2}\overrightarrow{a})$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} - \frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|^2$

$= \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 4$

$= 1 + 1 - 2 = 0$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{PQ} = 0$より、$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{PQ}$

よって、$\angle APQ = 90^\circ$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$

$|\overrightarrow{AP}| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{a}| = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

三角形APQの面積は$\frac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{AP}| \cdot |\overrightarrow{PQ}| = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 1/2

エ: 4

オ: 1/2

カ: 2

キ: 1

ク: 2

ケ: 1

コ: 2

サ: 2

シ: 0

スセ: 90

ソ: 2

タ: 2