与えられた4つの式が円の方程式かどうかを調べ、円の方程式である場合は中心と半径を求めます。

1. 問題の内容

与えられた4つの式が円の方程式かどうかを調べ、円の方程式である場合は中心と半径を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$

平方完成を行う。

$x^2 + 4x + y^2 - 6y = 0$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 4 + 9$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$

これは円の方程式であり、中心は$(-2, 3)$、半径は$\sqrt{13}$です。

(2) $3x^2 + 3y^2 - 6x + 12y + 5 = 0$

まず、3で割る。

$x^2 + y^2 - 2x + 4y + \frac{5}{3} = 0$

平方完成を行う。

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = -\frac{5}{3}$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = -\frac{5}{3} + 1 + 4$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = -\frac{5}{3} + \frac{3}{3} + \frac{12}{3}$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = \frac{10}{3}$

これは円の方程式であり、中心は$(1, -2)$、半径は$\sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$です。

(3) $x^2 + y^2 - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$

平方完成を行う。

$(x^2 - \sqrt{3}x) + (y^2 + y) = -1$

$(x^2 - \sqrt{3}x + \frac{3}{4}) + (y^2 + y + \frac{1}{4}) = -1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

$(x - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = -1 + \frac{4}{4}$

$(x - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 0$

これは半径0の円、つまり点$(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$です。

(4) $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 15 = 0$

平方完成を行う。

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) = -15$

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) = -15 + 9 + 1$

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = -5$

右辺が負なので、これは円の方程式ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 円、中心$(-2, 3)$、半径$\sqrt{13}$

(2) 円、中心$(1, -2)$、半径$\frac{\sqrt{30}}{3}$

(3) 点$(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$

(4) 円ではない