与えられた4つの2次方程式がそれぞれどのような図形を表すかを答える問題です。 (1) $x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$ (2) $3x^2 + 3y^2 - 6x + 12y + 5 = 0$ (3) $x^2 + y^2 - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ (4) $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 15 = 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次方程式がそれぞれどのような図形を表すかを答える問題です。

(1) $x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$

(2) $3x^2 + 3y^2 - 6x + 12y + 5 = 0$

(3) $x^2 + y^2 - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$

(4) $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 15 = 0$

2. 解き方の手順

円の方程式の一般形 $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ を利用します。

この式を平方完成すると、

$(x + A/2)^2 + (y + B/2)^2 = (A/2)^2 + (B/2)^2 - C$

となります。

右辺が正のとき円、0のとき点、負のときは図形が存在しないことを利用します。

(1) $x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 2^2 + (-3)^2 - 0 = 4 + 9 = 13 > 0$

よって、円を表します。

(2) $3x^2 + 3y^2 - 6x + 12y + 5 = 0$

両辺を3で割ると、$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5/3 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = (-1)^2 + 2^2 - 5/3 = 1 + 4 - 5/3 = 5 - 5/3 = 10/3 > 0$

よって、円を表します。

(3) $x^2 + y^2 - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$

$(x - \sqrt{3}/2)^2 + (y + 1/2)^2 = (\sqrt{3}/2)^2 + (1/2)^2 - 1 = 3/4 + 1/4 - 1 = 1 - 1 = 0$

よって、点を表します。

(4) $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 15 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 3^2 + (-1)^2 - 15 = 9 + 1 - 15 = 10 - 15 = -5 < 0$

よって、図形を表しません。

3. 最終的な答え

(1) 円

(2) 円

(3) 点

(4) 図形を表さない