与えられた4つの2次方程式がそれぞれどのような図形を表すかを答える問題です。 (1) $x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$ (2) $3x^2 + 3y^2 - 6x + 12y + 5 = 0$ (3) $x^2 + y^2 - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ (4) $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 15 = 0$

幾何学二次方程式図形
2025/6/26

1. 問題の内容

与えられた4つの2次方程式がそれぞれどのような図形を表すかを答える問題です。
(1) x2+y2+4x6y=0x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0
(2) 3x2+3y26x+12y+5=03x^2 + 3y^2 - 6x + 12y + 5 = 0
(3) x2+y23x+y+1=0x^2 + y^2 - \sqrt{3}x + y + 1 = 0
(4) x2+y2+6x2y+15=0x^2 + y^2 + 6x - 2y + 15 = 0

2. 解き方の手順

円の方程式の一般形 x2+y2+Ax+By+C=0x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 を利用します。
この式を平方完成すると、
(x+A/2)2+(y+B/2)2=(A/2)2+(B/2)2C(x + A/2)^2 + (y + B/2)^2 = (A/2)^2 + (B/2)^2 - C
となります。
右辺が正のとき円、0のとき点、負のときは図形が存在しないことを利用します。
(1) x2+y2+4x6y=0x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0
(x+2)2+(y3)2=22+(3)20=4+9=13>0(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 2^2 + (-3)^2 - 0 = 4 + 9 = 13 > 0
よって、円を表します。
(2) 3x2+3y26x+12y+5=03x^2 + 3y^2 - 6x + 12y + 5 = 0
両辺を3で割ると、x2+y22x+4y+5/3=0x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5/3 = 0
(x1)2+(y+2)2=(1)2+225/3=1+45/3=55/3=10/3>0(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = (-1)^2 + 2^2 - 5/3 = 1 + 4 - 5/3 = 5 - 5/3 = 10/3 > 0
よって、円を表します。
(3) x2+y23x+y+1=0x^2 + y^2 - \sqrt{3}x + y + 1 = 0
(x3/2)2+(y+1/2)2=(3/2)2+(1/2)21=3/4+1/41=11=0(x - \sqrt{3}/2)^2 + (y + 1/2)^2 = (\sqrt{3}/2)^2 + (1/2)^2 - 1 = 3/4 + 1/4 - 1 = 1 - 1 = 0
よって、点を表します。
(4) x2+y2+6x2y+15=0x^2 + y^2 + 6x - 2y + 15 = 0
(x+3)2+(y1)2=32+(1)215=9+115=1015=5<0(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 3^2 + (-1)^2 - 15 = 9 + 1 - 15 = 10 - 15 = -5 < 0
よって、図形を表しません。

3. 最終的な答え

(1) 円
(2) 円
(3) 点
(4) 図形を表さない

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