放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に $x$ 座標がそれぞれ $-2, 3$ である点 $A, B$ をとる。また、$y$ 軸上に点 $C(0, 6)$ をとる。直線 $AB$ と $y$ 軸の交点を $D$ とする。以下の問いに答える。 (1) 点 $D$ の座標を求めよ。 (2) $\triangle CAD$ と $\triangle CBD$ の面積の比を求めよ。 (3) $\triangle ABC$ の面積を求めよ。 (4) 点 $D$ を通り、$\triangle ABC$ の面積を 2 等分する直線の式を求めよ。

はい、承知しました。問題文の指示に従って、問題を解いていきます。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に $x$ 座標がそれぞれ $-2, 3$ である点 $A, B$ をとる。また、$y$ 軸上に点 $C(0, 6)$ をとる。直線 $AB$ と $y$ 軸の交点を $D$ とする。以下の問いに答える。

(1) 点 $D$ の座標を求めよ。

(2) $\triangle CAD$ と $\triangle CBD$ の面積の比を求めよ。

(3) $\triangle ABC$ の面積を求めよ。

(4) 点 $D$ を通り、$\triangle ABC$ の面積を 2 等分する直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $D$ の座標を求める。

点 $A$ の座標は $x=-2$ なので、$y = \frac{1}{2}(-2)^2 = 2$ より、 $A(-2, 2)$ である。

点 $B$ の座標は $x=3$ なので、$y = \frac{1}{2}(3)^2 = \frac{9}{2}$ より、$B(3, \frac{9}{2})$ である。

直線 $AB$ の式を $y = ax + b$ とおくと、

$2 = -2a + b$

$\frac{9}{2} = 3a + b$

この連立方程式を解く。

2つの式を引き算すると、

$-\frac{5}{2} = -5a$ より、$a = \frac{1}{2}$ である。

$2 = -2(\frac{1}{2}) + b$ より、$b = 3$ である。

したがって、直線 $AB$ の式は $y = \frac{1}{2}x + 3$ である。

点 $D$ は直線 $AB$ と $y$ 軸の交点なので、$x=0$ を代入すると、$y = \frac{1}{2}(0) + 3 = 3$ である。

よって、点 $D$ の座標は $(0, 3)$ である。

(2) $\triangle CAD$ と $\triangle CBD$ の面積の比を求める。

$\triangle CAD$ と $\triangle CBD$ は底辺が $CD$ で共通なので、面積の比は高さの比に等しい。高さはそれぞれ点 $A, B$ の $x$ 座標の絶対値に等しい。

$\triangle CAD$ の高さは $|-2| = 2$ である。

$\triangle CBD$ の高さは $|3| = 3$ である。

したがって、$\triangle CAD : \triangle CBD = 2 : 3$ である。

(3) $\triangle ABC$ の面積を求める。

$\triangle ABC$ の面積は、$\triangle CAD$ と $\triangle CBD$ の面積の和である。

$\triangle CAD = \frac{1}{2} \times CD \times 2 = CD = 6 - 3 = 3$

$\triangle CBD = \frac{1}{2} \times CD \times 3 = \frac{3}{2}CD = \frac{3}{2} \times 3 = \frac{9}{2}$

したがって、$\triangle ABC = 3 + \frac{9}{2} = \frac{15}{2}$ である。

(4) 点 $D$ を通り、$\triangle ABC$ の面積を 2 等分する直線の式を求める。

点 $D$ を通り $\triangle ABC$ の面積を 2 等分する直線は、辺 $AC$ または辺 $BC$ と交わる。この直線は、$\triangle ABC$ の面積の半分、つまり $\frac{15}{4}$ になる。

$D$を通る直線が辺 $AB$ の中点を通る場合を考えます。

$AB$の中点を$M$とすると、$M = (\frac{-2+3}{2}, \frac{2+9/2}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{13}{4})$

この直線$DM$の式は$y = ax + 3$なので、$\frac{13}{4} = \frac{1}{2}a + 3$となり、$a = \frac{1}{2}$

ゆえに$y = \frac{1}{2}x + 3$

3. 最終的な答え

(1) 点 $D$ の座標: $(0, 3)$

(2) $\triangle CAD : \triangle CBD = 2 : 3$

(3) $\triangle ABC$ の面積: $\frac{15}{2}$

(4) 点 $D$ を通り、$\triangle ABC$ の面積を 2 等分する直線の式: $y=\frac{1}{2}x+3$