三角形ABCとその内部の点Pについて、$2\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} + 4\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ が成り立つとき、次の問いに答えます。 (1) $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ を用いて表す。 (2) 直線APとBCの交点をQとするとき、$BQ:QC$ および $AP:PQ$ を求める。 (3) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求める。

## 問題2

1. 問題の内容

三角形ABCとその内部の点Pについて、$2\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} + 4\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ が成り立つとき、次の問いに答えます。

(1) $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ を用いて表す。

(2) 直線APとBCの交点をQとするとき、$BQ:QC$ および $AP:PQ$ を求める。

(3) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ で表す。

まず、与えられた条件式 $2\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} + 4\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ を変形します。

基準点をAに統一するために、$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP}$ を代入します。

$2\overrightarrow{PA} + 3(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}) + 4(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP}) = \overrightarrow{0}$

$-2\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{0}$

$-9\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$9\overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}$

よって、

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{9}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{9}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{9}\overrightarrow{AC}$

(2) $BQ:QC$ および $AP:PQ$ を求める。

点Qは直線AP上にあるので、実数$k$を用いて $\overrightarrow{AQ} = k\overrightarrow{AP}$ と表せる。

(1)の結果より、$\overrightarrow{AQ} = k(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{9}\overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{AQ} = \frac{k}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4k}{9}\overrightarrow{AC}$

点Qは直線BC上にあるので、$\overrightarrow{AQ} = (1-t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ と表せる。（$t$は実数）

$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$は一次独立なので、係数を比較すると、

$\frac{k}{3} = 1-t$ かつ $\frac{4k}{9} = t$

これらを解くと、

$\frac{k}{3} = 1 - \frac{4k}{9}$

$\frac{3k}{9} + \frac{4k}{9} = 1$

$\frac{7k}{9} = 1$

$k = \frac{9}{7}$

$t = \frac{4k}{9} = \frac{4}{9} \times \frac{9}{7} = \frac{4}{7}$

よって、$\overrightarrow{AQ} = \frac{3}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow{AC}$

したがって、$BQ:QC = 4:3$

また、$AP:PQ = AP:(AQ-AP) = AP:(\frac{9}{7}AP - AP) = AP:(\frac{2}{7}AP) = 7:2$

(3) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB$ を求める。

$2\overrightarrow{PA} + 3\overrightarrow{PB} + 4\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ より、点Pは三角形ABCの内部にある。面積比は係数の比に比例する。

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 2 : 3 : 4$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{9}\overrightarrow{AC}$

(2) $BQ:QC = 4:3$、 $AP:PQ = 7:2$

(3) $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = 2 : 3 : 4$