座標平面上に原点Oと2点A(1,0), B(0,1)がある。$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ で表される点Pについて、$s \geq 0$, $t \geq 0$, $s+t \leq 2$ を満たすとき、点Pが存在する範囲を図示せよ。

1. 問題の内容

座標平面上に原点Oと2点A(1,0), B(0,1)がある。$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ で表される点Pについて、$s \geq 0$, $t \geq 0$, $s+t \leq 2$ を満たすとき、点Pが存在する範囲を図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、条件 $s+t \leq 2$ より、$s+t = k$ とおくと、$0 \leq k \leq 2$ である。

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = k(\frac{s}{k}\overrightarrow{OA} + \frac{t}{k}\overrightarrow{OB})$

ここで、$s' = \frac{s}{k}$, $t' = \frac{t}{k}$ とおくと、$s' + t' = 1$ であり、$s' \geq 0$, $t' \geq 0$ である。

このとき、点Qを$\overrightarrow{OQ} = s'\overrightarrow{OA} + t'\overrightarrow{OB}$ で定めると、点Qは線分AB上を動く。

$\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OQ}$ より、点Pは線分OQをk倍した点である。

$0 \leq k \leq 2$ より、点PはOQを0倍から2倍した範囲を動く。

点Qは線分AB上を動くので、OQの最大値は、QがABの中点のときである。

このとき、点Pは線分ABを2倍した点である。

A(1,0), B(0,1)なので、線分AB上の点をQ(x,y)とすると、直線ABの方程式は $x+y=1$ である。

ここで、点Qが線分AB上を動くとき、$s+t=2$とすると$\overrightarrow{OP}=2s'\overrightarrow{OA}+2t'\overrightarrow{OB}$となる。ここで、$2s' = S$, $2t'=T$ とおくと、$S+T = 2$, $S \geq 0$, $T \geq 0$となる。

$\overrightarrow{OP}=S\overrightarrow{OA}+T\overrightarrow{OB}$だから、$\overrightarrow{OP} = S(1,0) + T(0,1) = (S, T)$ となる。

よって、P(S,T)とすると、$S \geq 0$, $T \geq 0$, $S+T \leq 2$ である。

したがって、点Pの存在する範囲は、$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+y \leq 2$ で表される領域である。これは、O(0,0), A'(2,0), B'(0,2)を頂点とする三角形O A' B'とその内部である。

3. 最終的な答え

点Pが存在する範囲は、点O(0,0), A'(2,0), B'(0,2)を頂点とする三角形とその内部である。