次の円の方程式を求めます。 (1) 中心が点$(-2, 1)$ で、点$(1, -3)$ を通る円 (2) 2点$(4, -2), (-6, 2)$を直径の両端とする円 (3) 中心が点$(3, 4)$で、$x$軸に接する円

1. 問題の内容

次の円の方程式を求めます。

(1) 中心が点$(-2, 1)$ で、点$(1, -3)$ を通る円

(2) 2点$(4, -2), (-6, 2)$を直径の両端とする円

(3) 中心が点$(3, 4)$で、$x$軸に接する円

2. 解き方の手順

(1) 中心が$(-2, 1)$であるから、円の方程式は

$(x+2)^2 + (y-1)^2 = r^2$

と表せる。点$(1, -3)$を通るので、これを代入して

$(1+2)^2 + (-3-1)^2 = r^2$

$3^2 + (-4)^2 = r^2$

$9 + 16 = r^2$

$r^2 = 25$

よって、円の方程式は

$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 25$

(2) 直径の両端が$(4, -2), (-6, 2)$であるから、円の中心は

$(\frac{4+(-6)}{2}, \frac{-2+2}{2}) = (\frac{-2}{2}, \frac{0}{2}) = (-1, 0)$

円の中心は$(-1, 0)$

円の半径は、中心と端点の距離として計算できる。

$r^2 = (4 - (-1))^2 + (-2 - 0)^2 = 5^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$

円の方程式は

$(x+1)^2 + y^2 = 29$

(3) 中心が$(3, 4)$であるから、円の方程式は

$(x-3)^2 + (y-4)^2 = r^2$

と表せる。$x$軸に接するので、半径は$y$座標の絶対値となる。

$r = |4| = 4$

したがって、$r^2 = 16$

よって、円の方程式は

$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 16$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 25$

(2) $(x+1)^2 + y^2 = 29$

(3) $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 16$