2直線 $x - y + 1 = 0$ と $3x + 2y - 12 = 0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式をそれぞれ求める問題です。 (1) 直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に平行な直線 (2) 直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に垂直な直線

1. 問題の内容

2直線 $x - y + 1 = 0$ と $3x + 2y - 12 = 0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式をそれぞれ求める問題です。

(1) 直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に平行な直線

(2) 直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に垂直な直線

2. 解き方の手順

(1) 直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に平行な直線

まず、2直線 $x - y + 1 = 0$ と $3x + 2y - 12 = 0$ の交点を求めます。

$x - y + 1 = 0$ より $y = x + 1$。

これを $3x + 2y - 12 = 0$ に代入すると、

$3x + 2(x + 1) - 12 = 0$

$3x + 2x + 2 - 12 = 0$

$5x - 10 = 0$

$5x = 10$

$x = 2$

$y = x + 1 = 2 + 1 = 3$

よって、交点は $(2, 3)$ です。

直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に平行な直線の傾きは、 $5x - 6y - 8 = 0$ を変形して $6y = 5x - 8$ より $y = \frac{5}{6}x - \frac{4}{3}$ となるので、$\frac{5}{6}$ です。

したがって、求める直線の方程式は、$y - 3 = \frac{5}{6}(x - 2)$

$y = \frac{5}{6}x - \frac{5}{3} + 3$

$y = \frac{5}{6}x + \frac{4}{3}$

両辺に6をかけて整理すると、$6y = 5x + 8$

$5x - 6y + 8 = 0$

(2) 直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に垂直な直線

直線 $5x - 6y - 8 = 0$ に垂直な直線の傾きは、$-\frac{6}{5}$ です。（垂直な直線の傾きの積は-1）

したがって、求める直線の方程式は、$y - 3 = -\frac{6}{5}(x - 2)$

$y = -\frac{6}{5}x + \frac{12}{5} + 3$

$y = -\frac{6}{5}x + \frac{27}{5}$

両辺に5をかけて整理すると、$5y = -6x + 27$

$6x + 5y - 27 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $5x - 6y + 8 = 0$

(2) $6x + 5y - 27 = 0$