$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $M$ 、辺 $OB$ の中点を $N$ とする。線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ として、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $M$ 、辺 $OB$ の中点を $N$ とする。線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ として、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表せ。

2. 解き方の手順

まず、$AP:PN = s:1-s$ とすると、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{ON} = (1-s)\vec{OA} + s \frac{1}{2} \vec{OB}$

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b}$

次に、$BP:PM = t:1-t$ とすると、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM} = (1-t)\vec{OB} + t \frac{2}{3} \vec{OA}$

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + \frac{2t}{3} \vec{a}$

よって、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{2t}{3}$

$\frac{s}{2} = 1-t$

この連立方程式を解く。

$\frac{s}{2} = 1-t$ より $s = 2-2t$

$1-s = \frac{2t}{3}$ に代入して $1-(2-2t) = \frac{2t}{3}$

$-1+2t = \frac{2t}{3}$

$6t - 3 = 2t$

$4t = 3$

$t = \frac{3}{4}$

$s = 2 - 2(\frac{3}{4}) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b} = (1-\frac{1}{2})\vec{a} + \frac{1/2}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$