円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=2, CD=4, DA=4とする。このとき、対角線BDの長さと四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=2, CD=4, DA=4とする。このとき、対角線BDの長さと四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDと三角形BCDに余弦定理を適用する。

$\angle A + \angle C = 180^\circ$ であるから、$C = 180^\circ - A$ となる。

三角形ABDにおいて、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos A = 25 - 24 \cos A$

三角形BCDにおいて、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos (180^\circ - A) = 20 - 16 \cos (180^\circ - A) = 20 + 16 \cos A$

したがって、

$25 - 24 \cos A = 20 + 16 \cos A$

$5 = 40 \cos A$

$\cos A = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$

このとき、$BD^2 = 25 - 24 \cdot \frac{1}{8} = 25 - 3 = 22$

$BD > 0$ であるから、$BD = \sqrt{22}$

$0^\circ < A < 180^\circ$ であるから、$\sin A > 0$

$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{1}{8})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{64}} = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

$\sin C = \sin (180^\circ - A) = \sin A = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

したがって、四角形ABCDの面積は、三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の和である。

$\triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} = \frac{36\sqrt{7}}{16} = \frac{9\sqrt{7}}{4}$

$\triangle CBD = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} = \frac{24\sqrt{7}}{16} = \frac{3\sqrt{7}}{2} = \frac{6\sqrt{7}}{4}$

四角形ABCDの面積は、

$\triangle ABD + \triangle CBD = \frac{9\sqrt{7}}{4} + \frac{6\sqrt{7}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

3. 最終的な答え

対角線BDの長さは$\sqrt{22}$

四角形ABCDの面積は$\frac{15\sqrt{7}}{4}$