三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=5$, $CA=6$とするとき、$\cos \angle BAC$, $\sin \angle BAC$, 三角形ABCの面積、外接円の半径、内接円の半径をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=5$, $CA=6$とするとき、$\cos \angle BAC$, $\sin \angle BAC$, 三角形ABCの面積、外接円の半径、内接円の半径をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より$\cos \angle BAC$を求める。

$\cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{7^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{49 + 36 - 25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$

(2) $\sin \angle BAC$を求める。

$\sin^2 \angle BAC + \cos^2 \angle BAC = 1$より、

$\sin^2 \angle BAC = 1 - \cos^2 \angle BAC = 1 - (\frac{5}{7})^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{49}$

$\sin \angle BAC = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$ ($\sin \angle BAC > 0$ より)

(3) 三角形ABCの面積を求める。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = 6\sqrt{6}$

(4) 外接円の半径Rを求める。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$

$2R = \frac{5}{\frac{2\sqrt{6}}{7}} = \frac{35}{2\sqrt{6}}$

$R = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$

(5) 内接円の半径rを求める。

$S = \frac{1}{2}r(AB + BC + CA)$

$6\sqrt{6} = \frac{1}{2}r(7 + 5 + 6) = \frac{1}{2}r(18) = 9r$

$r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos \angle BAC = \frac{5}{7}$

$\sin \angle BAC = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

三角形ABCの面積 = $6\sqrt{6}$

外接円の半径 = $\frac{35\sqrt{6}}{24}$

内接円の半径 = $\frac{2\sqrt{6}}{3}$