平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを3:2に内分する点をE、対角線BDを3:5に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを3:2に内分する点をE、対角線BDを3:5に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて証明する。$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$とおく。

まず、$\vec{AE}$を$\vec{b}$と$\vec{d}$で表す。Eは辺BCを3:2に内分する点なので、

$\vec{BE} = \frac{3}{5} \vec{BC} = \frac{3}{5} \vec{AD} = \frac{3}{5} \vec{d}$

$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d}$

次に、$\vec{AF}$を$\vec{b}$と$\vec{d}$で表す。Fは対角線BDを3:5に内分する点なので、

$\vec{AF} = \frac{5 \vec{AB} + 3 \vec{AD}}{3 + 5} = \frac{5\vec{b} + 3\vec{d}}{8} = \frac{5}{8}\vec{b} + \frac{3}{8}\vec{d}$

3点A, F, Eが一直線上にあるためには、ある実数$k$が存在して、$\vec{AF} = k \vec{AE}$が成り立つ必要がある。

$\vec{AF} = k \vec{AE} = k(\vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d}) = k\vec{b} + \frac{3k}{5} \vec{d}$

$\vec{AF} = \frac{5}{8}\vec{b} + \frac{3}{8}\vec{d}$より、

$k = \frac{5}{8}$

$\frac{3k}{5} = \frac{3}{8}$

となる。$k = \frac{5}{8}$を代入すると、

$\frac{3}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$となり、成り立つ。

したがって、$\vec{AF} = \frac{5}{8} \vec{AE}$となり、3点A, F, Eは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点A, F, Eは一直線上にある。