問題VIは長方形ABCDと、長方形の周上を移動する点P, Qに関する問題です。 (1) 点Pが点Aを出発してから2秒後の三角形APQの面積を求めます。 (2) 点Pが辺BC上にあるとき、三角形APQの面積と三角形ABPの面積が等しくなるような時間tを求めます。 (3) 三角形APQの面積が$24 cm^2$となる時間tを求めます。

1. 問題の内容

問題VIは長方形ABCDと、長方形の周上を移動する点P, Qに関する問題です。

(1) 点Pが点Aを出発してから2秒後の三角形APQの面積を求めます。

(2) 点Pが辺BC上にあるとき、三角形APQの面積と三角形ABPの面積が等しくなるような時間tを求めます。

(3) 三角形APQの面積が$24 cm^2$となる時間tを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2秒後の点Pと点Qの位置を求めます。

点Pは秒速3cmで移動するので、2秒後には$3 \times 2 = 6$cm進みます。点Aから6cm進んだ点がPなので、Pは辺AB上にあり、$AP = 6$cmです。

点Qは秒速2cmで移動するので、2秒後には$2 \times 2 = 4$cm進みます。点Dから4cm進んだ点がQなので、Qは辺AD上にあり、$AQ = 4$cmです。

三角形APQの面積は $\frac{1}{2} \times AP \times AQ = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 cm^2$となります。

(2) 点Pが辺BC上にあるとき、APQの面積とABPの面積が等しくなるような時間tを求めます。

点Pが辺BC上にあるので、$t > \frac{9}{3} = 3$です。

このとき、$AP = AB + BP = 9 + 3t - 9 = 3t - 9$。

点Qは点DからAに向かって移動しているので、$AQ = AD - DQ = 18 - 2t$。

三角形APQの面積は $\frac{1}{2} \times AQ \times AB = \frac{1}{2} \times (18 - 2t) \times 9$となります。

三角形ABPの面積は $\frac{1}{2} \times AB \times BP = \frac{1}{2} \times 9 \times (3t - 9)$となります。

$\frac{1}{2} \times (18 - 2t) \times 9 = \frac{1}{2} \times 9 \times (3t - 9)$より、

$18 - 2t = 3t - 9$

$27 = 5t$

$t = \frac{27}{5} = 5.4$秒

(3) APQの面積が24cm^2となるとき、tの値を求めます。

i) 点PがAB上にあるとき ($0 \le t \le 3$)

$AP = 3t$, $AQ = 18-2t$

$\frac{1}{2} \times 3t \times (18-2t) = 24$

$3t (18-2t) = 48$

$54t - 6t^2 = 48$

$6t^2 - 54t + 48 = 0$

$t^2 - 9t + 8 = 0$

$(t-1)(t-8) = 0$

$t=1, 8$

$0 \le t \le 3$なので、$t = 1$

ii) 点PがBC上にあるとき ($3 \le t \le 9$)

$AP = 9$, $AQ = 18 - 2t$

$\frac{1}{2} \times AP \times AQ = \frac{1}{2} \times 9(18-2t) = 24$

$9(18-2t) = 48$

$18-2t = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$

$2t = 18 - \frac{16}{3} = \frac{54 - 16}{3} = \frac{38}{3}$

$t = \frac{19}{3}$

$3 \le t \le 9$なので、$t = \frac{19}{3}$は適切です。

iii) 点PがCD上にあるとき ($9 \le t \le 15$)

$CP = 3t - 27, AQ = 18 - 2t$

$\frac{1}{2} \times AQ \times DC = 24$

$DC=9$, なので$\frac{1}{2} \times \frac{19}{3} = AQ$

$\frac{AP = 9+18}{2} * * 18$

$AQ =24 * 2= 48 AP = 3T = 3 (54)$

$t=1, \frac{19}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $12 cm^2$

(2) $5.4$秒

(3) $t=1, \frac{19}{3}$