直線 $l: y = x + 2$ と直線 $m: y = \frac{1}{2}x$ がある。 (1) 直線 $l$ と直線 $m$ の交点の座標を求める。 (2) 直線 $l$ 上の $x > 0$ の範囲に点Aがある。点Aから $y$ 軸に平行な直線を引き、直線 $m$ との交点をBとする。また、点Aから $x$ 軸に平行な直線を引き、直線 $m$ との交点をCとする。さらに、点Cから $y$ 軸に平行な直線を引き、$x$ 軸との交点をDとする。$AB + AC + CD = 15$ cm となるときの点Aの座標を、$t$ を用いて表し、$t$ についての方程式を作成し、点Aの $x$ 座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: y = x + 2$ と直線 $m: y = \frac{1}{2}x$ がある。

(1) 直線 $l$ と直線 $m$ の交点の座標を求める。

(2) 直線 $l$ 上の $x > 0$ の範囲に点Aがある。点Aから $y$ 軸に平行な直線を引き、直線 $m$ との交点をBとする。また、点Aから $x$ 軸に平行な直線を引き、直線 $m$ との交点をCとする。さらに、点Cから $y$ 軸に平行な直線を引き、$x$ 軸との交点をDとする。$AB + AC + CD = 15$ cm となるときの点Aの座標を、$t$ を用いて表し、$t$ についての方程式を作成し、点Aの $x$ 座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ と直線 $m$ の交点は、$y = x + 2$ と $y = \frac{1}{2}x$ を連立方程式として解くことで求められる。

$x + 2 = \frac{1}{2}x$ より、$\frac{1}{2}x = -2$ となる。

したがって、$x = -4$。

$y = x + 2$ に $x = -4$ を代入すると、$y = -4 + 2 = -2$。

よって、交点の座標は $(-4, -2)$。

(2)

点Aの座標を $(t, t+2)$ とする ($t > 0$)。

点Bは点Aから $y$ 軸に平行な直線上にあるので、点Bの $x$ 座標は $t$ である。点Bは直線 $m$ 上にあるので、点Bの座標は $(t, \frac{1}{2}t)$。

$AB = (t+2) - \frac{1}{2}t = \frac{1}{2}t + 2$。

点Cは点Aから $x$ 軸に平行な直線上にあるので、点Cの $y$ 座標は $t+2$ である。点Cは直線 $m$ 上にあるので、$t+2 = \frac{1}{2}x$ を満たす。

$x = 2(t+2)$ より、点Cの座標は $(2(t+2), t+2)$。

$AC = 2(t+2) - t = 2t + 4 - t = t + 4$。

点Dは点Cから $y$ 軸に平行な直線上にあるので、点Dの $x$ 座標は $2(t+2)$ である。点Dは $x$ 軸上にあるので、点Dの座標は $(2(t+2), 0)$。

$CD = t + 2$。

$AB + AC + CD = 15$ より、

$(\frac{1}{2}t + 2) + (t + 4) + (t + 2) = 15$

$\frac{5}{2}t + 8 = 15$

$\frac{5}{2}t = 7$

$t = \frac{14}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $(-4, -2)$

(2) 点Aの $x$ 座標は $\frac{14}{5}$

点Aの座標は$(\frac{14}{5}, \frac{24}{5})$