$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ として、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ として、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $AD$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-s) \overrightarrow{OA} + s \overrightarrow{OD}$

と表せる。ここで $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ であり、$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3} \vec{b}$ であるから、

$\overrightarrow{OP} = (1-s) \vec{a} + \frac{s}{3} \vec{b}$ ... (1)

と表せる。

次に、点 $P$ が線分 $BC$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-t) \overrightarrow{OB} + t \overrightarrow{OC}$

と表せる。ここで $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ であり、$\overrightarrow{OC} = \frac{3}{5} \vec{a}$ であるから、

$\overrightarrow{OP} = \frac{3t}{5} \vec{a} + (1-t) \vec{b}$ ... (2)

と表せる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、(1)と(2)の $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の係数を比較して

$1-s = \frac{3t}{5}$

$\frac{s}{3} = 1-t$

この連立方程式を解く。2番目の式から $s = 3 - 3t$ となり、これを1番目の式に代入すると、

$1-(3-3t) = \frac{3t}{5}$

$-2 + 3t = \frac{3t}{5}$

$15t - 3t = 10$

$12t = 10$

$t = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

このとき $s = 3 - 3 \times \frac{5}{6} = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$

この $s$ または $t$ の値を(1)または(2)に代入して、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。

(1)に代入すると、$\overrightarrow{OP} = (1 - \frac{1}{2}) \vec{a} + \frac{\frac{1}{2}}{3} \vec{b} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$

(2)に代入すると、$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{6} \vec{a} + (1 - \frac{5}{6}) \vec{b} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$