放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分に長方形 ABCD が内接している。辺 BC が $x$ 軸上にあるとき、長方形の周の長さが最大となるような辺 BC の長さを求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた部分に長方形 ABCD が内接している。辺 BC が $x$ 軸上にあるとき、長方形の周の長さが最大となるような辺 BC の長さを求める。

2. 解き方の手順

長方形 ABCD の頂点 C の $x$ 座標を $t$ ($0 < t < 2$) とおく。

このとき、点 D の座標は $(t, 4 - t^2)$ となる。

長方形の辺 BC の長さは $2t$ であり、辺 CD の長さは $4 - t^2$ である。

したがって、長方形の周の長さ $L$ は、

$L = 2(2t + 4 - t^2) = -2t^2 + 4t + 8$

$L$ を $t$ について平方完成すると、

$L = -2(t^2 - 2t) + 8 = -2(t^2 - 2t + 1 - 1) + 8 = -2(t - 1)^2 + 2 + 8 = -2(t - 1)^2 + 10$

$0 < t < 2$ の範囲で、$L$ は $t = 1$ のとき最大値 10 をとる。

このとき、BC の長さは $2t = 2(1) = 2$ である。

3. 最終的な答え

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