問題は、与えられた曲線と直線が共有点を持つかどうかを調べ、共有点を持つ場合は、その個数と座標を求めることです。ここでは、問題番号(1) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ と $y = x - 2$ の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた曲線と直線が共有点を持つかどうかを調べ、共有点を持つ場合は、その個数と座標を求めることです。ここでは、問題番号(1) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ と $y = x - 2$ の問題を解きます。

2. 解き方の手順

まずは、直線の方程式を曲線の方程式に代入します。

$y = x - 2$ を $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ に代入すると、

$\frac{x^2}{9} + \frac{(x-2)^2}{4} = 1$

次に、この式を整理します。

$\frac{x^2}{9} + \frac{x^2 - 4x + 4}{4} = 1$

両辺に36をかけて分母を払います。

$4x^2 + 9(x^2 - 4x + 4) = 36$

$4x^2 + 9x^2 - 36x + 36 = 36$

$13x^2 - 36x = 0$

$x(13x - 36) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = \frac{36}{13}$

それぞれの $x$ の値に対応する $y$ の値を求めます。

$x = 0$ のとき、$y = 0 - 2 = -2$

$x = \frac{36}{13}$ のとき、$y = \frac{36}{13} - 2 = \frac{36}{13} - \frac{26}{13} = \frac{10}{13}$

したがって、共有点は2つあり、その座標は$(0, -2)$と$(\frac{36}{13}, \frac{10}{13})$です。

3. 最終的な答え

共有点の個数は2つで、座標は$(0, -2)$と$(\frac{36}{13}, \frac{10}{13})$です。