三角形ABCにおいて、$b = 4\sqrt{3}$, $c = 4$, $A = 30^\circ$のとき、辺aの長さと角Bの大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = 4\sqrt{3}$, $c = 4$, $A = 30^\circ$のとき、辺aの長さと角Bの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺aの長さを求めます。

余弦定理は、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$で表されます。

与えられた値を代入すると、

$a^2 = (4\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2(4\sqrt{3})(4)\cos 30^\circ$

$a^2 = 16(3) + 16 - 32\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 48 + 16 - 32 \cdot \frac{3}{2}$

$a^2 = 64 - 48$

$a^2 = 16$

$a = \sqrt{16} = 4$

したがって、$a = 4$となります。

次に、正弦定理を用いて角Bの大きさを求めます。

正弦定理は$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$で表されます。

与えられた値を代入すると、

$\frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin B}$

$\frac{4}{\frac{1}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin B}$

$8 = \frac{4\sqrt{3}}{\sin B}$

$\sin B = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる角Bは、$B = 60^\circ$または$B = 120^\circ$です。

もし$B=120^\circ$とすると、$A+B=30^\circ+120^\circ=150^\circ$となり、$C=180^\circ-(A+B)=30^\circ$となります。

このとき、$A=C$より$a=c=4$となり、矛盾しません。

もし$B=60^\circ$とすると、$A+B=30^\circ+60^\circ=90^\circ$となり、$C=180^\circ-(A+B)=90^\circ$となります。

このとき、$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$より、$b=\frac{c\sin B}{\sin C} = \frac{4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=2\sqrt{3}$となり、$b = 4\sqrt{3}$と矛盾します。

したがって、$B = 60^\circ$が正しいです。

3. 最終的な答え

$a = 4$

$B = 60^\circ$