与えられた放物線 $y^2 = 4x$ と直線 $x + y = 1$ の交点を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた放物線 $y^2 = 4x$ と直線 $x + y = 1$ の交点を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線の方程式から $x$ を $y$ で表します。

$x + y = 1$ より、

$x = 1 - y$

この式を放物線の方程式に代入します。

$y^2 = 4(1 - y)$

これを整理すると、

$y^2 = 4 - 4y$

$y^2 + 4y - 4 = 0$

この二次方程式を解の公式を使って解きます。解の公式は、$ax^2+bx+c=0$のとき、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$です。今回は、$y$について解くので、

$y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}$

$y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2}$

$y = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2}$

$y = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2}$

$y = -2 \pm 2\sqrt{2}$

よって、$y_1 = -2 + 2\sqrt{2}$ と $y_2 = -2 - 2\sqrt{2}$ です。

次に、それぞれの $y$ の値に対応する $x$ の値を求めます。

$x = 1 - y$ なので、

$x_1 = 1 - (-2 + 2\sqrt{2}) = 1 + 2 - 2\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2}$

$x_2 = 1 - (-2 - 2\sqrt{2}) = 1 + 2 + 2\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

放物線と直線の交点は、

$(3 - 2\sqrt{2}, -2 + 2\sqrt{2})$ と $(3 + 2\sqrt{2}, -2 - 2\sqrt{2})$