四面体OABCにおいて、$OA=OB=OC=1$, $\angle COA=\alpha$, $\angle COB=\beta$, $\angle AOB=\gamma$とする。ただし、$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, $0<\beta<\frac{\pi}{2}$とする。辺OAの延長上に点Dを$\overrightarrow{OC}$と$\overrightarrow{CD}$が垂直になるようにとり、辺OBの延長上に点Eを$\overrightarrow{OC}$と$\overrightarrow{CE}$が垂直になるようにとる。$\angle DCE=\theta$とし、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{OC}=\vec{c}$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\overrightarrow{CD}$を$\vec{a}$, $\vec{c}$, $\cos \alpha$を用いて表せ。また、$\overrightarrow{CE}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$, $\cos \beta$を用いて表せ。 (2) $\cos \theta$を$\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\sin \beta$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$を用いて表せ。 (3) $\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta$, $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$とする。点Cから平面DOEに下ろした垂線の足をPとするとき、$CP = \frac{1}{\tan \gamma}$となることを示せ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$OA=OB=OC=1$, $\angle COA=\alpha$, $\angle COB=\beta$, $\angle AOB=\gamma$とする。ただし、$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, $0<\beta<\frac{\pi}{2}$とする。辺OAの延長上に点Dを$\overrightarrow{OC}$と$\overrightarrow{CD}$が垂直になるようにとり、辺OBの延長上に点Eを$\overrightarrow{OC}$と$\overrightarrow{CE}$が垂直になるようにとる。$\angle DCE=\theta$とし、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{OC}=\vec{c}$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{CD}$を$\vec{a}$, $\vec{c}$, $\cos \alpha$を用いて表せ。また、$\overrightarrow{CE}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$, $\cos \beta$を用いて表せ。

(2) $\cos \theta$を$\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\sin \beta$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$を用いて表せ。

(3) $\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta$, $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$とする。点Cから平面DOEに下ろした垂線の足をPとするとき、$CP = \frac{1}{\tan \gamma}$となることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{CD}$と$\overrightarrow{OC}$が垂直であることから、$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$が成り立つ。

$\overrightarrow{OD} = k \overrightarrow{OA} = k \vec{a}$とおくと、$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = k \vec{a} - \vec{c}$となる。

よって、$(k \vec{a} - \vec{c}) \cdot \vec{c} = 0$となる。

$k (\vec{a} \cdot \vec{c}) - |\vec{c}|^2 = 0$より、$k (\vec{a} \cdot \vec{c}) = 1$となる。

$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos \alpha = \cos \alpha$なので、$k \cos \alpha = 1$, よって、$k = \frac{1}{\cos \alpha}$となる。

したがって、$\overrightarrow{CD} = \frac{1}{\cos \alpha} \vec{a} - \vec{c}$となる。

同様に、$\overrightarrow{CE}$と$\overrightarrow{OC}$が垂直であることから、$\overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$が成り立つ。

$\overrightarrow{OE} = l \overrightarrow{OB} = l \vec{b}$とおくと、$\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OC} = l \vec{b} - \vec{c}$となる。

よって、$(l \vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{c} = 0$となる。

$l (\vec{b} \cdot \vec{c}) - |\vec{c}|^2 = 0$より、$l (\vec{b} \cdot \vec{c}) = 1$となる。

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \beta = \cos \beta$なので、$l \cos \beta = 1$, よって、$l = \frac{1}{\cos \beta}$となる。

したがって、$\overrightarrow{CE} = \frac{1}{\cos \beta} \vec{b} - \vec{c}$となる。

(2) $\overrightarrow{CD} = \frac{1}{\cos \alpha} \vec{a} - \vec{c}$, $\overrightarrow{CE} = \frac{1}{\cos \beta} \vec{b} - \vec{c}$より、

$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CE} = (\frac{1}{\cos \alpha} \vec{a} - \vec{c}) \cdot (\frac{1}{\cos \beta} \vec{b} - \vec{c}) = \frac{1}{\cos \alpha \cos \beta} (\vec{a} \cdot \vec{b}) - \frac{1}{\cos \alpha} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \frac{1}{\cos \beta} (\vec{b} \cdot \vec{c}) + |\vec{c}|^2$

$= \frac{\cos \gamma}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \beta}{\cos \beta} + 1 = \frac{\cos \gamma}{\cos \alpha \cos \beta} - 1 - 1 + 1 = \frac{\cos \gamma}{\cos \alpha \cos \beta} - 1$

また、$|\overrightarrow{CD}|^2 = (\frac{1}{\cos \alpha} \vec{a} - \vec{c}) \cdot (\frac{1}{\cos \alpha} \vec{a} - \vec{c}) = \frac{1}{\cos^2 \alpha} |\vec{a}|^2 - \frac{2}{\cos \alpha} (\vec{a} \cdot \vec{c}) + |\vec{c}|^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \frac{2 \cos \alpha}{\cos \alpha} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha$

$|\overrightarrow{CE}|^2 = (\frac{1}{\cos \beta} \vec{b} - \vec{c}) \cdot (\frac{1}{\cos \beta} \vec{b} - \vec{c}) = \frac{1}{\cos^2 \beta} |\vec{b}|^2 - \frac{2}{\cos \beta} (\vec{b} \cdot \vec{c}) + |\vec{c}|^2 = \frac{1}{\cos^2 \beta} - \frac{2 \cos \beta}{\cos \beta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \beta} - 2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \beta} - 1 = \frac{1 - \cos^2 \beta}{\cos^2 \beta} = \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} = \tan^2 \beta$

よって、$|\overrightarrow{CD}| = \tan \alpha$, $|\overrightarrow{CE}| = \tan \beta$

$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CE} = |\overrightarrow{CD}| |\overrightarrow{CE}| \cos \theta = \tan \alpha \tan \beta \cos \theta$

$\tan \alpha \tan \beta \cos \theta = \frac{\cos \gamma}{\cos \alpha \cos \beta} - 1$

$\cos \theta = \frac{\frac{\cos \gamma}{\cos \alpha \cos \beta} - 1}{\tan \alpha \tan \beta} = \frac{\cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} \cdot \frac{\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{\cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}$

$\cos \theta = \frac{\cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}$

(3) $\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta$、$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$より、$\cos \beta = \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$となる。

$\cos \gamma = \cos \alpha \sin \alpha$となる。

平面DOEは、点D,O,Eを含む平面である。$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{\cos \alpha} \vec{a}$, $\overrightarrow{OE} = \frac{1}{\cos \beta} \vec{b} = \frac{1}{\sin \alpha} \vec{b}$である。

平面DOEの法線ベクトルを$\vec{n}$とすると、$\vec{n} \cdot \overrightarrow{OD} = 0$, $\vec{n} \cdot \overrightarrow{OE} = 0$を満たす。

$\vec{n} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$とおくと、

$\frac{1}{\cos \alpha} \vec{a} \cdot \vec{n} = \frac{1}{\cos \alpha} (s|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) + u(\vec{a} \cdot \vec{c})) = \frac{1}{\cos \alpha} (s + t \cos \gamma + u \cos \alpha) = 0$

$\frac{1}{\sin \alpha} \vec{b} \cdot \vec{n} = \frac{1}{\sin \alpha} (s(\vec{b} \cdot \vec{a}) + t|\vec{b}|^2 + u(\vec{b} \cdot \vec{c})) = \frac{1}{\sin \alpha} (s \cos \gamma + t + u \sin \alpha) = 0$

$s + t \cos \gamma + u \cos \alpha = 0$

$s \cos \gamma + t + u \sin \alpha = 0$

$s = -t \cos \gamma - u \cos \alpha$

$(-t \cos \gamma - u \cos \alpha) \cos \gamma + t + u \sin \alpha = 0$

$-t \cos^2 \gamma - u \cos \alpha \cos \gamma + t + u \sin \alpha = 0$

$t (1 - \cos^2 \gamma) + u (\sin \alpha - \cos \alpha \cos \gamma) = 0$

$t \sin^2 \gamma + u (\sin \alpha - \cos \alpha \cos \alpha \sin \alpha) = 0$

$t \sin^2 \gamma + u (\sin \alpha (1 - \cos^2 \alpha)) = 0$

$t \sin^2 \gamma + u \sin \alpha \sin^2 \alpha = 0$

$t = -u \sin \alpha \sin^2 \alpha / \sin^2 \gamma$

よって$\vec{n}$を具体的に求めることは難しい。

別のアプローチ：

点Cから平面DOEに下ろした垂線の足をPとする。$\overrightarrow{CP}$の長さを求める。

$\overrightarrow{CP}$は$\overrightarrow{DOE}$と垂直なので、$\overrightarrow{CP} = x \vec{n}$と表せる（$\vec{n}$は$\overrightarrow{DOE}$の法線ベクトル）

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP} = \vec{c} + x \vec{n}$である。

点Pは平面DOE上の点なので、$\overrightarrow{OP} = p \overrightarrow{OD} + q \overrightarrow{OE} = \frac{p}{\cos \alpha} \vec{a} + \frac{q}{\sin \alpha} \vec{b}$とおける。

$\vec{c} + x \vec{n} = \frac{p}{\cos \alpha} \vec{a} + \frac{q}{\sin \alpha} \vec{b}$

$\overrightarrow{CP} = \frac{1}{\tan \gamma}$を示す。$\cos \gamma = \cos \alpha \sin \alpha$、$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$

難しいので、パス

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{CD} = \frac{1}{\cos \alpha} \vec{a} - \vec{c}$, $\overrightarrow{CE} = \frac{1}{\cos \beta} \vec{b} - \vec{c}$

(2) $\cos \theta = \frac{\cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}$

(3)証明不可