問題1は、半径が3、弧の長さが4の扇形について、中心角の大きさをラジアンで求め、面積を求める問題です。 問題2は、$sinθ + cosθ = \frac{2}{3}$ のとき、$sinθcosθ$ と $sin^3θ + cos^3θ$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は、半径が3、弧の長さが4の扇形について、中心角の大きさをラジアンで求め、面積を求める問題です。

問題2は、$sinθ + cosθ = \frac{2}{3}$ のとき、$sinθcosθ$ と $sin^3θ + cos^3θ$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1

(1) 中心角の大きさは、弧の長さを半径で割ることで求められます。

中心角を$\theta$とすると、$\theta = \frac{4}{3}$ ラジアンです。

(2) 扇形の面積は、$S = \frac{1}{2}r^2\theta$ で求められます。

$r=3$、$\theta = \frac{4}{3}$ を代入すると、$S = \frac{1}{2} \times 3^2 \times \frac{4}{3} = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{4}{3} = 6$です。

問題2

(1) $sinθ + cosθ = \frac{2}{3}$ の両辺を2乗すると、

$(sinθ + cosθ)^2 = (\frac{2}{3})^2$

$sin^2θ + 2sinθcosθ + cos^2θ = \frac{4}{9}$

$1 + 2sinθcosθ = \frac{4}{9}$

$2sinθcosθ = \frac{4}{9} - 1 = -\frac{5}{9}$

$sinθcosθ = -\frac{5}{18}$

(2) $sin^3θ + cos^3θ$ は、因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いると、

$sin^3θ + cos^3θ = (sinθ + cosθ)(sin^2θ - sinθcosθ + cos^2θ)$

$= (sinθ + cosθ)(1 - sinθcosθ)$

$= \frac{2}{3} (1 - (-\frac{5}{18}))$

$= \frac{2}{3} (1 + \frac{5}{18})$

$= \frac{2}{3} (\frac{18+5}{18})$

$= \frac{2}{3} \times \frac{23}{18} = \frac{23}{27}$

3. 最終的な答え

問題1

(1) 中心角の大きさ: $\frac{4}{3}$ ラジアン

(2) 面積: 6

問題2

(1) $sinθcosθ = -\frac{5}{18}$

(2) $sin^3θ + cos^3θ = \frac{23}{27}$