点Qが円 $x^2 + y^2 = 16$ 上を動くとき、点A(0, 8) と点Qを結ぶ線分AQの中点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

点Qが円 $x^2 + y^2 = 16$ 上を動くとき、点A(0, 8) と点Qを結ぶ線分AQの中点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点Qの座標を $(s, t)$、点Pの座標を $(x, y)$ とおく。

点Qは円 $x^2 + y^2 = 16$ 上にあるので、

$s^2 + t^2 = 16$

点Pは線分AQの中点なので、

$x = \frac{0 + s}{2} = \frac{s}{2}$

$y = \frac{8 + t}{2}$

したがって、

$s = 2x$

$t = 2y - 8$

これらを $s^2 + t^2 = 16$ に代入すると、

$(2x)^2 + (2y - 8)^2 = 16$

$4x^2 + 4(y - 4)^2 = 16$

$x^2 + (y - 4)^2 = 4$

これは、中心 $(0, 4)$、半径2の円を表す。

ここで、円 $x^2+y^2 = 16$ 上の点Qが存在するためには、Pは円 $x^2 + (y - 4)^2 = 4$ 全体を動ける必要がある。

3. 最終的な答え

$x^2 + (y - 4)^2 = 4$