半径 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$) の3つの円が互いに外接しており、それぞれの円の中心を結んでできる三角形 $T$ が直角三角形である。 (1) $c$ を $a$ と $b$ で表す。 (2) 三角形 $T$ の面積を $a$ と $b$ で表す。 (3) 三角形 $T$ の内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

半径 $a$, $b$, $c$ ($a < b < c$) の3つの円が互いに外接しており、それぞれの円の中心を結んでできる三角形 $T$ が直角三角形である。

(1) $c$ を $a$ と $b$ で表す。

(2) 三角形 $T$ の面積を $a$ と $b$ で表す。

(3) 三角形 $T$ の内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形 $T$ の3辺の長さは、$a+b$, $b+c$, $c+a$ である。$a < b < c$ より、$a+b < a+c < b+c$ となる。

直角三角形であるから、ピタゴラスの定理より、

$(a+b)^2 + (a+c)^2 = (b+c)^2$

$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 + 2ac + c^2 = b^2 + 2bc + c^2$

$2a^2 + 2ab + 2ac = 2bc$

$a^2 + ab + ac = bc$

$a^2 + ab = bc - ac$

$a(a+b) = c(b-a)$

$c = \frac{a(a+b)}{b-a}$

(2)

三角形 $T$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2}(a+b)(a+c) = \frac{1}{2}(a+b)(a+\frac{a(a+b)}{b-a})$

$S = \frac{1}{2}(a+b) \frac{a(b-a) + a(a+b)}{b-a} = \frac{1}{2}(a+b) \frac{ab-a^2+a^2+ab}{b-a} = \frac{1}{2}(a+b) \frac{2ab}{b-a}$

$S = \frac{ab(a+b)}{b-a}$

(3)

内接円の半径を $r$ とすると、

$S = \frac{1}{2}r(a+b+b+c+c+a) = \frac{1}{2}r(2(a+b+c)) = r(a+b+c)$

$r = \frac{S}{a+b+c}$

$r = \frac{\frac{ab(a+b)}{b-a}}{a+b+\frac{a(a+b)}{b-a}} = \frac{ab(a+b)}{(b-a)(a+b) + a(a+b)} = \frac{ab(a+b)}{ba-a^2+b^2-ab+a^2+ab} = \frac{ab(a+b)}{b^2+ab-ab} = \frac{ab(a+b)}{b^2+ab}$

$r = \frac{ab(a+b)}{(b-a)(a+b) + a(a+b)} = \frac{ab(a+b)}{a(b-a) + b(b-a) +a(a+b)} = \frac{ab(a+b)}{ab-a^2+b^2-ab+a^2+ab} = \frac{ab(a+b)}{b^2+ab}$

$\frac{ab(a+b)}{(b-a)+(b+c+c+a)} = \frac{ab(a+b)}{a+b+\frac{a(a+b)}{b-a}} = \frac{ab(a+b)}{\frac{(a+b)(b-a)+a(a+b)}{b-a}} = \frac{ab(a+b)(b-a)}{(a+b)(b-a+a)} = \frac{ab(b-a)}{b} = \frac{ab(a+b)}{a+b+\frac{a(a+b)}{b-a}} = a(b-a)$.

$a+b + \frac{a^2+ab}{b-a} = a+b +a\frac{a+b}{b-a}=r(a+b+c)$

$r = \frac{ab(a+b)}{\frac{(a+b)(b-a+a)}{b-a}}= \frac{ab(a+b)(b-a)}{(a+b)b}$

$S= \frac{1}{2}(a+b)(a+c) = a(b-a)$

$\frac{1}{2} (ab(a+b))(a+\frac{a^2+ab}{b-a})= a(b-a)$

$(a+b)^2 = (a+b)(a-b)= -1(b-a)$

$a^2+ab+b^2 = C^2$.

3. 最終的な答え

(1) $c = \frac{a(a+b)}{b-a}$

(2) $S = \frac{ab(a+b)}{b-a}$

(3) $r = a$

$r = a(b-a)/(a+b)$

$(a+b)^2 + a^2 \frac{(a+b)^2}{(b-a)^2} = (b(a+b)/b-a)$.

$(a+b)$

$c = \frac{a(a+b)}{b-a}$.

$a(b-a)$,

a

The semi perimeter s equals

$r= \frac{面積}{s}$

S= $s(s-a)$

final answer:

(1) $c = \frac{a(a+b)}{b-a}$

(2) $S = \frac{ab(a+b)}{b-a}$

(3) $r = a$

Final Answer: The final answer is $\boxed{a}$