楕円 $x^2 + 9y^2 = 9$ と直線 $y = kx + 2$ が接するときの定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

楕円 $x^2 + 9y^2 = 9$ と直線 $y = kx + 2$ が接するときの定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、楕円の方程式を変形します。

$x^2 + 9y^2 = 9$ を $9$ で割ると、

$\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$

次に、直線の方程式 $y = kx + 2$ を楕円の方程式に代入します。

$\frac{x^2}{9} + (kx + 2)^2 = 1$

$x^2 + 9(kx + 2)^2 = 9$

$x^2 + 9(k^2x^2 + 4kx + 4) = 9$

$x^2 + 9k^2x^2 + 36kx + 36 = 9$

$(1 + 9k^2)x^2 + 36kx + 27 = 0$

この2次方程式が重解を持つとき、直線と楕円は接します。したがって、判別式 $D$ が $0$ になる条件を考えます。

$D = (36k)^2 - 4(1 + 9k^2)(27) = 0$

$1296k^2 - 4(27 + 243k^2) = 0$

$1296k^2 - 108 - 972k^2 = 0$

$324k^2 - 108 = 0$

$324k^2 = 108$

$k^2 = \frac{108}{324} = \frac{1}{3}$

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

次に、接点の $x$ 座標を求めます。重解を持つ条件から、

$x = \frac{-36k}{2(1 + 9k^2)} = \frac{-18k}{1 + 9k^2}$

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、

$x = \frac{-18(\frac{\sqrt{3}}{3})}{1 + 9(\frac{1}{3})} = \frac{-6\sqrt{3}}{1 + 3} = \frac{-6\sqrt{3}}{4} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$k = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、

$x = \frac{18(\frac{\sqrt{3}}{3})}{1 + 9(\frac{1}{3})} = \frac{6\sqrt{3}}{1 + 3} = \frac{6\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

次に、接点の $y$ 座標を求めます。 $y = kx + 2$ に代入します。

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、$x = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$ より、

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}(-\frac{3\sqrt{3}}{2}) + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

$k = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、$x = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ より、

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}(\frac{3\sqrt{3}}{2}) + 2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

したがって、接点の座標は $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ および $(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ です。

3. 最終的な答え

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

接点の座標は $(-\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ および $(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$