$\angle A = 60^\circ$, $AB = 4$, $CA = 3$ である $\triangle ABC$ について、面積 $S$ と辺 $BC$ の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

$\angle A = 60^\circ$, $AB = 4$, $CA = 3$ である $\triangle ABC$ について、面積 $S$ と辺 $BC$ の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$ の面積を求めます。

三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ を用いると、

$$S = \frac{1}{2} \times AB \times CA \times \sin A = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \sin 60^\circ$$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

したがって、面積は $3\sqrt{3}$ です。

次に、辺 $BC$ の長さを求めます。

余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ を用いると、

$$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \times AB \times CA \times \cos A$$

$$BC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \times 4 \times 3 \times \cos 60^\circ$$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$$BC^2 = 16 + 9 - 2 \times 4 \times 3 \times \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$$

したがって、$BC = \sqrt{13}$ です。

3. 最終的な答え

$\triangle ABC$ の面積 $S = 3\sqrt{3}$

辺 $BC$ の長さ $BC = \sqrt{13}$