三角形ABCにおいて、AB=5, AC=4であり、角Aの大きさが角Bの大きさの2倍であるとき、BCの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=5, AC=4であり、角Aの大きさが角Bの大きさの2倍であるとき、BCの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

角Bを$\theta$とすると、角Aは$2\theta$となる。

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{BC}{\sin 2\theta} = \frac{4}{\sin \theta}$

$BC = \frac{4 \sin 2\theta}{\sin \theta} = \frac{4(2 \sin \theta \cos \theta)}{\sin \theta} = 8 \cos \theta$

余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$4^2 = 5^2 + BC^2 - 2 \cdot 5 \cdot BC \cdot \cos \theta$

$16 = 25 + BC^2 - 10 \cdot BC \cdot \cos \theta$

$BC^2 - 10 \cdot BC \cdot \cos \theta + 9 = 0$

$BC = 8 \cos \theta$より$\cos \theta = \frac{BC}{8}$なので、代入すると

$BC^2 - 10 \cdot BC \cdot \frac{BC}{8} + 9 = 0$

$BC^2 - \frac{5}{4} BC^2 + 9 = 0$

$-\frac{1}{4} BC^2 + 9 = 0$

$BC^2 = 36$

$BC = \pm 6$

BCは長さなので正である必要がある。

よって$BC = 6$

3. 最終的な答え

6