問題1：半径が3、弧の長さが4の扇形がある。 (1) 中心角の大きさは何ラジアンか。 (2) 面積を求めよ。 問題2：$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ (2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

はい、承知いたしました。問題を解きます。

1. 問題の内容

問題1：半径が3、弧の長さが4の扇形がある。

(1) 中心角の大きさは何ラジアンか。

(2) 面積を求めよ。

問題2：$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$

2. 解き方の手順

問題1：

(1) 中心角の大きさ：

扇形の弧の長さ $l$ は、半径 $r$ と中心角 $\theta$ （ラジアン）を用いて $l = r\theta$ と表されます。

与えられた条件より、$l = 4$、$r = 3$ なので、

$4 = 3\theta$

$\theta = \frac{4}{3}$

したがって、中心角の大きさは$\frac{4}{3}$ラジアンです。

(2) 面積：

扇形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}r^2\theta$ で求められます。

$r = 3$、$\theta = \frac{4}{3}$を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \times 3^2 \times \frac{4}{3} = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{4}{3} = \frac{36}{6} = 6$

したがって、面積は6です。

問題2：

(1) $\sin \theta \cos \theta$：

与えられた条件$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$の両辺を2乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{2}{3})^2$

$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{4}{9}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$であるから、

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9}$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9} - 1 = \frac{4}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{5}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$：

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= (\sin \theta + \cos \theta)((\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) - \sin \theta \cos \theta)$

$= (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3}$、$\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$を代入すると、

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{2}{3}(1 - (-\frac{5}{18})) = \frac{2}{3}(1 + \frac{5}{18}) = \frac{2}{3}(\frac{18}{18} + \frac{5}{18}) = \frac{2}{3}(\frac{23}{18}) = \frac{46}{54} = \frac{23}{27}$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) 中心角の大きさ：$\frac{4}{3}$ラジアン

(2) 面積：6

問題2：

(1) $\sin \theta \cos \theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{23}{27}$