問題1は、半径が3、弧の長さが4である扇形の中心角の大きさをラジアンで求め、面積を求める問題です。 問題2は、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ および $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ の値を求める問題です。

はい、承知しました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

問題1は、半径が3、弧の長さが4である扇形の中心角の大きさをラジアンで求め、面積を求める問題です。

問題2は、$\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ および $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1

(1) 中心角の大きさは、弧の長さ $l$ と半径 $r$ を用いて $\theta = \frac{l}{r}$ で求められます。

(2) 扇形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2} r l$ で求められます。

問題2

(1) 与えられた式 $\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$ を2乗することで、$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{4}{9}$ を得ます。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であることを利用して、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めます。

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ は因数分解できます。

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) = (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta)$

$\sin\theta + \cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ の値を代入して、$\sin^3\theta + \cos^3\theta$ の値を求めます。

3. 最終的な答え

問題1

(1) 中心角の大きさ: $\theta = \frac{4}{3}$ ラジアン

(2) 面積: $S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$

問題2

(1) $\sin\theta\cos\theta$:

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

$(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{4}{9} - 1 = -\frac{5}{9}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$:

$\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta) = (\frac{2}{3})(1 - (-\frac{5}{18})) = (\frac{2}{3})(1 + \frac{5}{18}) = (\frac{2}{3})(\frac{18+5}{18}) = (\frac{2}{3})(\frac{23}{18}) = \frac{23}{27}$

最終的な答え:

問題2 (1) $\sin\theta\cos\theta = -\frac{5}{18}$

問題2 (2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{23}{27}$