三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=5$, $\angle BAC = 120^\circ$とする。$\angle BAC$の二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、$AD$と$BD$を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $AC=5$, $\angle BAC = 120^\circ$とする。$\angle BAC$の二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、$AD$と$BD$を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\angle BAC$の二等分線なので、$\angle BAD = \angle CAD = 60^\circ$となる。

(2) 三角形ABCの面積をSとすると、

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin{120^\circ} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$

(3) 三角形ABDの面積を$S_1$、三角形ACDの面積を$S_2$とすると、$S = S_1 + S_2$である。

$S_1 = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin{\angle BAD} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot AD \cdot \sin{60^\circ} = 2 AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} AD$

$S_2 = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin{\angle CAD} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot AD \cdot \sin{60^\circ} = \frac{5}{2} AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{4} AD$

$S = S_1 + S_2$より、$5\sqrt{3} = \sqrt{3} AD + \frac{5\sqrt{3}}{4} AD = \frac{9\sqrt{3}}{4} AD$

よって、$AD = \frac{5\sqrt{3} \cdot 4}{9\sqrt{3}} = \frac{20}{9}$

(4) 角の二等分線の定理より、$BD : CD = AB : AC = 4 : 5$

BCの長さを求めるために、余弦定理を用いる。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos{\angle BAC} = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos{120^\circ} = 16 + 25 - 40 (-\frac{1}{2}) = 41 + 20 = 61$

よって、$BC = \sqrt{61}$

$BD = \frac{4}{4+5} BC = \frac{4}{9} BC = \frac{4}{9} \sqrt{61}$

3. 最終的な答え

$AD = \frac{20}{9}$

$BD = \frac{4\sqrt{61}}{9}$