三角形ABCにおいて、$AB=2$, $CA=\sqrt{3}-1$, $\angle CAB=30^\circ$のとき、$BC$の長さと$\sin \angle ABC$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=2$, $CA=\sqrt{3}-1$, $\angle CAB=30^\circ$のとき、$BC$の長さと$\sin \angle ABC$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$BC$の長さを求めます。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos \angle CAB$

$BC^2 = 2^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3}-1) \cdot \cos 30^\circ$

$BC^2 = 4 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 4(\sqrt{3}-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$BC^2 = 8 - 2\sqrt{3} - 2(\sqrt{3}-1)\sqrt{3}$

$BC^2 = 8 - 2\sqrt{3} - 2(3-\sqrt{3})$

$BC^2 = 8 - 2\sqrt{3} - 6 + 2\sqrt{3}$

$BC^2 = 2$

$BC = \sqrt{2}$

次に、正弦定理を用いて$\sin \angle ABC$を求めます。

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin \angle CAB} = \frac{CA}{\sin \angle ABC}$

$\sin \angle ABC = \frac{CA \cdot \sin \angle CAB}{BC}$

$\sin \angle ABC = \frac{(\sqrt{3}-1) \cdot \sin 30^\circ}{\sqrt{2}}$

$\sin \angle ABC = \frac{(\sqrt{3}-1) \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{2}}$

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$BC = \sqrt{2}$

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$