三角形ABCにおいて、$sin A : sin B : sin C = 7:5:3$であるとき、角Aの大きさと、辺ACを直径とする円の面積が三角形ABCの面積の何倍になるかを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$sin A : sin B : sin C = 7:5:3$であるとき、角Aの大きさと、辺ACを直径とする円の面積が三角形ABCの面積の何倍になるかを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理より、$a:b:c = sinA : sinB : sinC$なので、$a:b:c = 7:5:3$となる。

したがって、$a=7k, b=5k, c=3k$とおける。

次に、余弦定理を用いて角Aを求める。

$cosA = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$cosA = \frac{(5k)^2 + (3k)^2 - (7k)^2}{2 \cdot 5k \cdot 3k}$

$cosA = \frac{25k^2 + 9k^2 - 49k^2}{30k^2}$

$cosA = \frac{-15k^2}{30k^2}$

$cosA = -\frac{1}{2}$

よって、$A = 120^\circ$

次に、三角形ABCの面積をSとする。

$S = \frac{1}{2}bc sinA$

$S = \frac{1}{2}(5k)(3k)sin120^\circ$

$S = \frac{15}{2}k^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{15\sqrt{3}}{4}k^2$

ACを直径とする円の半径をrとすると、$2r = b = 5k$なので、$r = \frac{5}{2}k$となる。

円の面積をTとすると、

$T = \pi r^2$

$T = \pi (\frac{5}{2}k)^2$

$T = \pi \frac{25}{4}k^2$

円の面積が三角形ABCの面積の何倍かを求める。

$\frac{T}{S} = \frac{\pi \frac{25}{4}k^2}{\frac{15\sqrt{3}}{4}k^2}$

$\frac{T}{S} = \frac{25\pi}{15\sqrt{3}}$

$\frac{T}{S} = \frac{5\pi}{3\sqrt{3}}$

$\frac{T}{S} = \frac{5\sqrt{3}\pi}{9}$

3. 最終的な答え

$A = 120^\circ$

辺ACを直径とする円の面積は三角形ABCの面積の$\frac{5\sqrt{3}}{9}\pi$倍である。