$\cos A = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ の値を求めよ。ただし、$\sin A = \frac{\sqrt{\boxed{①}}}{\boxed{②}}$, $\tan A = \sqrt{\boxed{③}}$ の形で答える。

1. 問題の内容

$\cos A = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin A$ と $\tan A$ の値を求めよ。ただし、$\sin A = \frac{\sqrt{\boxed{①}}}{\boxed{②}}$, $\tan A = \sqrt{\boxed{③}}$ の形で答える。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式である $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を利用して $\sin A$ を求める。

$\cos A = \frac{1}{4}$ より、

$\sin^2 A + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1$

$\sin^2 A + \frac{1}{16} = 1$

$\sin^2 A = 1 - \frac{1}{16}$

$\sin^2 A = \frac{15}{16}$

$\sin A > 0$ であると仮定すると、

$\sin A = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

したがって、$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$ である。

次に、$\tan A$ を求める。$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ を利用する。

$\tan A = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \times \frac{4}{1} = \sqrt{15}$

したがって、$\tan A = \sqrt{15}$ である。

3. 最終的な答え

$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan A = \sqrt{15}$