3点 A(1, 1), B(5, -1), C(-3, -7) を通る円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

3点 A(1, 1), B(5, -1), C(-3, -7) を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおきます。

それぞれの点をこの方程式に代入して、a, b, c を求めます。

* 点 A(1, 1) を代入すると:

$1^2 + 1^2 + a(1) + b(1) + c = 0$

$2 + a + b + c = 0$

$a + b + c = -2$ ...(1)

* 点 B(5, -1) を代入すると:

$5^2 + (-1)^2 + a(5) + b(-1) + c = 0$

$25 + 1 + 5a - b + c = 0$

$5a - b + c = -26$ ...(2)

* 点 C(-3, -7) を代入すると:

$(-3)^2 + (-7)^2 + a(-3) + b(-7) + c = 0$

$9 + 49 - 3a - 7b + c = 0$

$-3a - 7b + c = -58$ ...(3)

(2) - (1)より:

$4a - 2b = -24$

$2a - b = -12$ ...(4)

(3) - (1)より:

$-4a - 8b = -56$

$a + 2b = 14$ ...(5)

(4)より $b = 2a + 12$

これを(5)に代入して:

$a + 2(2a + 12) = 14$

$a + 4a + 24 = 14$

$5a = -10$

$a = -2$

これを(4)に代入して:

$2(-2) - b = -12$

$-4 - b = -12$

$b = 8$

(1)に$a = -2$, $b = 8$を代入して:

$-2 + 8 + c = -2$

$6 + c = -2$

$c = -8$

したがって、円の方程式は

$x^2 + y^2 - 2x + 8y - 8 = 0$

これを平方完成すると:

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 8y) = 8$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 8y + 16) = 8 + 1 + 16$

$(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 25 = 5^2$

3. 最終的な答え

$(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 25$

または

$x^2 + y^2 - 2x + 8y - 8 = 0$