問題1は半径3、弧の長さ4の扇形について、(1)中心角の大きさを求め、(2)面積を求める問題です。 問題2は $\sin{\theta} + \cos{\theta} = \frac{2}{3}$ のとき、(1) $\sin{\theta}\cos{\theta}$ の値を求め、(2) $\sin^3{\theta} + \cos^3{\theta}$ の値を求める問題です。

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題1は半径3、弧の長さ4の扇形について、(1)中心角の大きさを求め、(2)面積を求める問題です。

問題2は $\sin{\theta} + \cos{\theta} = \frac{2}{3}$ のとき、(1) $\sin{\theta}\cos{\theta}$ の値を求め、(2) $\sin^3{\theta} + \cos^3{\theta}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1

(1) 扇形の弧の長さ $l$、半径 $r$、中心角 $\theta$ (ラジアン) の間には $l = r\theta$ の関係があります。この式を使って中心角 $\theta$ を求めます。

(2) 扇形の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2}r^2\theta$ で求められます。求めた $\theta$ と与えられた $r$ を使って面積 $S$ を計算します。

問題2

(1) $(\sin{\theta} + \cos{\theta})^2$ を展開すると $\sin^2{\theta} + 2\sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta}$ となります。$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ を利用して $\sin{\theta}\cos{\theta}$ を求めます。

(2) $\sin^3{\theta} + \cos^3{\theta}$ は $(\sin{\theta} + \cos{\theta})(\sin^2{\theta} - \sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta})$ と因数分解できます。$\sin{\theta} + \cos{\theta}$ と $\sin{\theta}\cos{\theta}$ の値を代入して計算します。

問題1

(1)

$l = r\theta$ に $l = 4$、 $r = 3$ を代入すると、

$4 = 3\theta$

$\theta = \frac{4}{3}$

(2)

$S = \frac{1}{2}r^2\theta$ に $r = 3$、 $\theta = \frac{4}{3}$ を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \times 3^2 \times \frac{4}{3} = \frac{1}{2} \times 9 \times \frac{4}{3} = 6$

問題2

(1)

$(\sin{\theta} + \cos{\theta})^2 = (\frac{2}{3})^2$

$\sin^2{\theta} + 2\sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta} = \frac{4}{9}$

$1 + 2\sin{\theta}\cos{\theta} = \frac{4}{9}$

$2\sin{\theta}\cos{\theta} = \frac{4}{9} - 1 = -\frac{5}{9}$

$\sin{\theta}\cos{\theta} = -\frac{5}{18}$

(2)

$\sin^3{\theta} + \cos^3{\theta} = (\sin{\theta} + \cos{\theta})(\sin^2{\theta} - \sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta})$

$= (\sin{\theta} + \cos{\theta})(1 - \sin{\theta}\cos{\theta})$

$= \frac{2}{3}(1 - (-\frac{5}{18})) = \frac{2}{3}(1 + \frac{5}{18}) = \frac{2}{3} \times \frac{23}{18} = \frac{23}{27}$

3. 最終的な答え

問題1

(1) 中心角: $\frac{4}{3}$ ラジアン

(2) 面積: $6$

問題2

(1) $\sin{\theta}\cos{\theta} = -\frac{5}{18}$

(2) $\sin^3{\theta} + \cos^3{\theta} = \frac{23}{27}$