$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $BC = 1$である$\triangle ABC$において、辺$AB$上に$BD = 1$となるような点$D$をとる。さらに、点$D$から辺$AC$に垂線を下ろし、その交点を$E$とする。以下の値を求めよ。 (1) 線分$AD$の長さ (2) 線分$DE$の長さ (3) $\sin \angle DCE$の値

1. 問題の内容

$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $BC = 1$である$\triangle ABC$において、辺$AB$上に$BD = 1$となるような点$D$をとる。さらに、点$D$から辺$AC$に垂線を下ろし、その交点を$E$とする。以下の値を求めよ。

(1) 線分$AD$の長さ

(2) 線分$DE$の長さ

(3) $\sin \angle DCE$の値

2. 解き方の手順

(1) 線分$AD$の長さを求める。

$\triangle ABC$において、$AB = BC/\tan 30^\circ = 1/(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \sqrt{3}$

$AD = AB - BD = \sqrt{3} - 1$

(2) 線分$DE$の長さを求める。

$\triangle ADE$において、$\angle A = 30^\circ$, $\angle AED = 90^\circ$なので、

$DE = AD \sin 30^\circ = (\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

(3) $\sin \angle DCE$の値を求める。

$\triangle ABC$において、$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$

$\triangle ADE$において、$\angle ADE = 180^\circ - \angle A - \angle AED = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$

$\angle CDE = 90^\circ - \angle ADE = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

$\angle DCE = \angle C - \angle ACE$

ここで$\angle ACE = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$なので

$\angle ACB = 60^\circ$となる.

$\angle DCE = \angle ACB - \angle ACD$

$\angle CAD = 30^\circ$より,

$CD = \sqrt{BD^2+BC^2}=\sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

$\angle DBC = 90^\circ$

また、$\triangle CDE$について考える。

$\angle DEC = 90^\circ$, $CD = \sqrt{2}$, $DE = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

$CE = \sqrt{CD^2 - DE^2} = \sqrt{2 - (\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2} = \sqrt{2 - \frac{3-2\sqrt{3}+1}{4}} = \sqrt{\frac{8-4+2\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

$\sin \angle DCE = \frac{DE}{CD} = \frac{(\sqrt{3} - 1)/2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $AD = \sqrt{3} - 1$

(2) $DE = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

(3) $\sin \angle DCE = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$